(x-4)²/x-2>0
Дано неравенство: \(\frac{(x-4)^2}{x-2} > 0\)
Чтобы решить это неравенство, давайте разберемся в его свойствах:
- Неравенство будет верным, когда числитель и знаменатель имеют одинаковые знаки (положительные или отрицательные).
- Неравенство будет ложным, когда числитель и знаменатель имеют разные знаки.
Давайте найдем точки разрыва и нули выражения \(\frac{(x-4)^2}{x-2}\):
Точка разрыва:
Корень знаменателя \(x - 2 = 0\) дает \(x = 2\), что означает точку разрыва в \(x = 2\).Нули числителя:
\((x - 4)^2 = 0\)
\(x - 4 = 0\)
\(x = 4\)
Итак, у нас есть две точки: \(x = 2\) (точка разрыва) и \(x = 4\) (нуль числителя).
Теперь составим таблицу знаков, чтобы определить интервалы, на которых неравенство выполняется:
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline & x < 2 & 2 < x < 4 & x = 4 & x > 4 \\ \hline x - 2 & - & + & + & + \\ \hline (x - 4)^2 & + & + & 0 & + \\ \hline \frac{(x-4)^2}{x-2} & - & + & UND & + \\ \hline \end{array} \]
Где "UND" обозначает undefined (недопустимое значение).
Из таблицы знаков видно, что неравенство \(\frac{(x-4)^2}{x-2} > 0\) выполняется на интервалах \(2 < x < 4\) и \(x > 4\).
Таким образом, решение данного неравенства:
\[ x \in (2, 4) \cup (4, +\infty) \]
Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решить данное неравенство. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!
