Про числа на доске На доске написано натуральное число . Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно стереть любое число и вместо него записать два новых натуральных…
Про числа на доске На доске написано натуральное число . Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. За ход можно стереть любое число и вместо него записать два новых натуральных числа, больших единицы и в произведении дающих стёртое число (например, вместо числа можно записать числа и , но нельзя записать и ). Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Выберите все варианты среди перечисленных, в которых Петя выигрывает при правильной игре.
Решение:
Дано, что на доске написано натуральное число \( n \), и Петя и Вася ходят по очереди, где начинает Петя. За каждый ход стирается одно число, и вместо него записываются два новых натуральных числа, произведение которых равно стертому числу. Проигрывает тот, кто не может сделать ход.
Анализ:
- Для большего понимания ситуации, рассмотрим несколько значений для \( n \) и попробуем выяснить, какие числа выигрышные для Пети.
- Если \( n = 1 \), то Петя проиграет, так как он не сможет разбить число 1 на два других натуральных числа, больших 1.
- Если \( n = 2 \), то Петя может стереть число 2 и записать пару (1,1), после чего Вася не сможет уже сделать подобный ход и проиграет.
- Если \( n = 3 \), то Петя также выигрывает, поскольку он может стереть 3 и записать пару (1,3) или (3,1), и в обоих случаях Петя выигрывает.
- Продолжая анализ аналогично для больших значений \( n \), можем прийти к заключению, что Петя выигрывает во всех случаях, когда \( n \) не является степенью двойки.
Ответ:
Итак, Петя выигрывает при правильной игре во всех вариантах, кроме случаев, когда число на доске является степенью двойки.
