Вариант 3 1.Основание прямой призмы - равнобедренный треугольник, в котором высота, проведенная к основанию, равна 9 см. Высота призмы 24 см. Найдите полную поверхность призмы, если боковая грань, содержащая основание треугольника квадрат. 2. Высота правильной четырехугольной пирамиды равна 2v2 см, а боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 45°. Найдите площадь поверхности пирамиды. 3. Боковая поверхность прямой призмы равна 480 дм2. Найдите площадь основания и высоту призмы, если ее основание ромб с высотой 3v2 дм и острым углом 45° 4. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 10 см, а плоский угол при вершине пирамиды 602 Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

**1.** **Первая задача:** Пусть основание равнобедренного треугольника имеет стороны a, a и b, где a - основание равнобедренного треугольника, равное 18 см (так как высота призмы проведена к основанию, и это сторона треугольника), b - высота равнобедренного треугольника. Зная, что высота призмы h = 24 см, мы можем найти боковое ребро равнобедренного треугольника используя его половину как катет и высоту, а также основание треугольника: **c = √(a/2)^2 + b^2 = √(9/2)^2 + 24^2 = √81/4 + 576 = √729/4 = 27/2 см = 13.5 см** Затем находим высоту треугольной грани призмы: **h_треугольной_грани = √c^2 - (a/2)^2 = √(27/2)^2 - (9/2)^2 = √(729/4 - 81/4) = √648/4 = 3√36 = 18 см** Теперь находим площадь одной грани призмы: **S_грани = (1/2 * a * b) + (3/4 * a * h_треугольной_грани) = (1/2 * 18 * 9) + (3/4 * 18 * 18) = 81 + 81 * 3 = 81 + 243 = 324 см^2** Учитывая, что боковых граней 3, а основание равно квадрату: **S_полной_поверхности = 3 * S_грани + a^2 = 3 * 324 + 18^2 = 972 + 324 = 1296 см^2** **2.** **Вторая задача:** Пусть a - сторона основания четырехугольной пирамиды, h - высота пирамиды, l - боковое ребро пирамиды. Найдем площадь основания: **S_base = a^2 = (2√2)^2 = 8 см^2** Так как угол наклона бокового ребра к основанию составляет 45°, высота треугольного бокового слоя равна a * sin(45°) = a * 1/√2 = a/√2. Таким образом, площадь одного бокового треугольного слоя равна: **S_side = 1/2 * a * l = 1/2 * a * a/√2 = a^2 / 2√2 = 8 / 2√2 = 4√2 см^2** Учитывая 4 боковых треугольных грани и базу, находим площадь поверхности пирамиды: **S_total = 4 * S_side + S_base = 4 * 4√2 + 8 = 16√2 + 8 см^2** **3.** **Третья задача:** Пусть S_side - площадь боковой поверхности прямой призмы, S_base - площадь основания прямой призмы, h - высота призмы, d_1 и d_2 - диагонали ромба. Известно, что S_side = 480 дм^2. Найдем сторону ромба: **d_1 = 3√2 дм** С учетом того, что у ромба острый угол равен 45°, то сторона ромба равна d_1. Также известно, что площадь основания ромба равна S_base = d_1 * d_2 / 2. Найдем высоту призмы h: **S_base = d_1 * d_2 / 2 = 3√2 * d_2 / 2** **h = S_side / 2(d_1 + d_2) = 480 / 2(2 * 3√2) = 480 / (12√2) = 40 / √2 = 20√2 дм** **4.** **Четвертая задача:** Пусть a - сторона основания четырехугольной пирамиды, γ - угол между плоскостью основания и боковой гранью пирамиды, h - высота пирамиды. Найдем высоту треугольной грани пирамиды: **h_triangle = a * sin(γ) = 10 * sin(60°) = 10 * √3 / 2 = 5√3 см** Площадь основания: **S_base = a^2 = 10^2 = 100 см^2** Площадь боковой грани по формуле площади треугольника: **S_side = a * l / 2 = 10 * 5√3 / 2 = 25√3 см^2** Учитывая 4 боковые грани и базу, находим площадь поверхности пирамиды: **S_total = 4 * S_side + S_base = 4 * 25√3 + 100 = 100√3 + 100 см^2** Я надеюсь, что эти подробные объяснения помогут вам понять решение данных задач! Если у вас возникнут дополнительные вопросы, не стесняйтесь их задавать.