Реши задачу 405,406

Для решения задач 405 и 406, давайте разберем каждую из них отдельно. ### Задача 405 **Условие:** Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(K\), \(\angle BKC = 60^\circ\), а \(\angle BVD\) на \(20^\circ\) больше \(\angle BAC\). Найдите \(\angle BAC\). **Решение:** 1. **Обозначим:** Пусть \(\angle BAC = x\). 2. **Используем условие:** \(\angle BVD = x + 20^\circ\). 3. **Сумма углов в четырехугольнике:** В четырехугольнике \(BKCD\), сумма противоположных углов равна \(180^\circ\) (по свойству вписанного четырехугольника). \[ \angle BKC + \angle BAD = 180^\circ \] 4. **Подставим известные значения:** \[ 60^\circ + (x + 20^\circ) = 180^\circ \] 5. **Решим уравнение:** \[ 60^\circ + x + 20^\circ = 180^\circ \] \[ x + 80^\circ = 180^\circ \] \[ x = 100^\circ \] Поэтому угол \(\angle BAC = 100^\circ\). ### Задача 406 **Условие:** Вершины четырехугольника \(ABCD\) лежат на окружности, диагонали пересекаются в точке \(M\), \(\angle BAC = 36^\circ\), \(\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ\). Найдите \(\angle BMC\). **Решение:** 1. **Используем свойства окружности:** Вписанный угол опирается на дугу, равную углу между диагоналями. По теореме о вписанных углах, если угол между диагоналями \(M\), и два вписанных угла \(\angle BAC\) и \(\angle CAD + \angle ADC\), то: \[ \angle BMC = \frac{1}{2} \times (\angle CAD + \angle ADC) \] 2. **Подставляем известные значения:** - \(\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ\) 3. **Находим \(\angle BMC\):** \[ \angle BMC = \frac{1}{2} \times 138^\circ = 69^\circ \] Поэтому угол \(\angle BMC = 69^\circ\).