Реши задачу 405,406

Для решения задач 405 и 406, давайте разберем каждую из них отдельно.

Задача 405

Условие:
Хорды \(AB\) и \(CD\) пересекаются в точке \(K\), \(\angle BKC = 60^\circ\), а \(\angle BVD\) на \(20^\circ\) больше \(\angle BAC\). Найдите \(\angle BAC\).

Решение:

1. Обозначим:
   Пусть \(\angle BAC = x\).

2. Используем условие:
   \(\angle BVD = x + 20^\circ\).

3. Сумма углов в четырехугольнике:
   В четырехугольнике \(BKCD\), сумма противоположных углов равна \(180^\circ\) (по свойству вписанного четырехугольника).

   \[ \angle BKC + \angle BAD = 180^\circ \]

4. Подставим известные значения:
   \[ 60^\circ + (x + 20^\circ) = 180^\circ \]

5. Решим уравнение:
   \[ 60^\circ + x + 20^\circ = 180^\circ \] \[ x + 80^\circ = 180^\circ \] \[ x = 100^\circ \]

Поэтому угол \(\angle BAC = 100^\circ\).

Задача 406

Условие:
Вершины четырехугольника \(ABCD\) лежат на окружности, диагонали пересекаются в точке \(M\), \(\angle BAC = 36^\circ\), \(\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ\). Найдите \(\angle BMC\).

Решение:

1. Используем свойства окружности:
   Вписанный угол опирается на дугу, равную углу между диагоналями. По теореме о вписанных углах, если угол между диагоналями \(M\), и два вписанных угла \(\angle BAC\) и \(\angle CAD + \angle ADC\), то:

   \[ \angle BMC = \frac{1}{2} \times (\angle CAD + \angle ADC) \]

2. Подставляем известные значения:

   • \(\angle CAD + \angle ADC = 138^\circ\)

3. Находим \(\angle BMC\): \[ \angle BMC = \frac{1}{2} \times 138^\circ = 69^\circ \]

Поэтому угол \(\angle BMC = 69^\circ\).