1. В треугольнике ABC, угол C = 60°, угол B = 90°. Высота BB₁ равна 7 см. Найдите AB.

Решение:

У нас имеется прямоугольный треугольник ABC, где угол B = 90° и угол C = 60°. По условию, высота BB₁ равна 7 см.

Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма углов смежных к прямому равна 90°. Таким образом, угол A = 90° - 60° = 30°.

Теперь нам нужно найти сторону AB. Мы можем использовать соотношение между сторонами прямоугольного треугольника:

• Пусть AB = a, BC = b, AC = c.
• В нашем случае, BB₁ является высотой, так как она перпендикулярна гипотенузе AC и проходит через вершину B.
• Теперь, мы можем выразить площадь треугольника ABC двумя способами. По формулам:
  • Площадь треугольника ABC: \( S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB₁ \)
  • Площадь треугольника ABC: \( S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB₁ \)

Из обоих равенств, мы можем получить равенство: \[ \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BB₁ = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BB₁ \]

Подставив высоту BB₁ = 7 см и угол C = 60°, мы знаем, что: \[ AB = AC \cdot cos(C) \] \[ AB = AC \cdot cos(60°) \] \[ AB = AC \cdot \frac{1}{2} \]

Также, мы знаем, что \( AC = AB + BC \), где BC = BB₁, так как они образуют катеты прямоугольного треугольника.

Заменим формулу для AC: \[ AB = (AB + 7) \cdot \frac{1}{2} \] \[ AB = \frac{AB}{2} + \frac{7}{2} \] \[ \frac{AB}{2} = \frac{7}{2} \] \[ AB = 7 \]

Таким образом, сторона AB прямоугольного треугольника ABC равна 7 см.