Билет №1 1.Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма, доказательство любого признака. 2.Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в…
Билет №1 1.Определение параллелограмма. Признаки параллелограмма, доказательство любого признака. 2.Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике. 3.В прямоугольной трапеции АВСК большая боковая сторона равна З√2 см, угол К равен 45°, а высота СН делит основание АК пополам. Найдите площадь трапеции. 4. Диагональ прямоугольника равна 34 см. Найдите стороны прямоугольника, если их длины относятся как 15:8.
1. Определение параллелограмма и его признаки:
Параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны. Признаки параллелограмма:
- Противоположные стороны параллельны.
- Противоположные стороны равны.
- Противоположные углы равны.
- Соседние углы дополнительные.
Доказательство признака параллелограмма:
Пусть ABCD - произвольный четырехугольник, то есть четыре точки A, B, C и D. Докажем, что ABCD - параллелограмм, если:
- Стороны AB и CD, BC и AD, а также углы A и C, B и D дополнительные.
- Стороны AB и CD равны, BC и AD равны, углы A и C равны, углы B и D равны.
2. Определение тригонометрических функций в прямоугольном треугольнике:
- Синус острого угла: отношение противолежащего катета к гипотенузе.
- Косинус острого угла: отношение прилежащего катета к гипотенузе.
- Тангенс острого угла: отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
- Котангенс острого угла: отношение прилежащего катета к противолежащему катету.
3. Площадь прямоугольной трапеции:
Дано:
- Большая боковая сторона равна 3√2 см.
- Угол К равен 45°.
- Высота СН делит основание АК пополам.
Для нахождения площади трапеции используем формулу: \( S = \frac{{(a + b) \cdot h}}{2} \), где \( a \) и \( b \) - основания трапеции, \( h \) - высота.
Периметр трапеции \( AK + BC + AB + CD = 2AK + BC = 2AK + 3\sqrt{2} \) (так как BC = AD = 3√2 см, а Н - середина АК).
Также, заметим, что трапеция разбивает наш прямоугольный треугольник на два равенствооского в пропорции 1:2:√2.
Площадь трапеции \( S = \frac{{(3\sqrt{2} + 3\sqrt{2}) \cdot 3\sqrt{2}}}{2} = 9 \cdot 3 = 27 \, см^2 \).
4. Длины сторон прямоугольника:
Пусть \( l \) и \( 34 \) - длины сторон прямоугольника (l - меньшая, 34 - большая), их отношение 15:8.
Тогда \( l + 34 = 15x \) и \( l^2 + 34^2 = 17x \), где \( x \) - некий коэффициент.
Решив систему уравнений, найдем \( l = 10 см \) и \( 34 = 17 см \), что соответствует отношению 10:17.
