Ответ
Для решения системы уравнений:
\[ \begin{cases} y + 8z = 21 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} \]
мы можем использовать метод подстановки или метод сложения. Здесь использую метод сложения.
Шаг 1: Уравнять коэффициенты перед \( z \)
У нас уже есть уравнения, в которых коэффициенты \( z \) не совпадают. Умножим первое уравнение на 3, чтобы уравнять коэффициенты перед \( z \):
\[ 3(y + 8z) = 3 \times 21 \]
Получаем:
\[ 3y + 24z = 63 \]
Теперь система выглядит так:
\[ \begin{cases} 3y + 24z = 63 \\ 10y - 3z = -15 \end{cases} \]
Шаг 2: Устранить \( z \)
Чтобы убрать \( z \), сложим два уравнения. Для этого нужно домножить второе уравнение на 8, чтобы уравнять модули коэффициентов перед \( z \):
\[ 8(10y - 3z) = 8 \times -15 \]
Получаем:
\[ 80y - 24z = -120 \]
Теперь сложим.
\[ \begin{cases} 3y + 24z = 63 \\ 80y - 24z = -120 \end{cases} \]
Складывая обе левые и правые части уравнений, получаем:
\[ 3y + 24z + 80y - 24z = 63 - 120 \]
\[ 83y = -57 \]
Шаг 3: Найти \( y \)
Найдём \( y \) из полученного уравнения:
\[ y = \frac{-57}{83} \]
Шаг 4: Подставить значение \( y \) в одно из исходных уравнений
Подставим значение \( y \) в первое уравнение \( y + 8z = 21 \).
\[ \frac{-57}{83} + 8z = 21 \]
Переносим \(\frac{-57}{83}\) в правую часть уравнения:
\[ 8z = 21 + \frac{57}{83} \]
\[ 8z = \frac{1743}{83} + \frac{57}{83} = \frac{1800}{83} \]
Шаг 5: Найти \( z \)
Разделим обе части уравнения на 8:
\[ z = \frac{1800}{8 \times 83} \]
\[ z = \frac{1800}{664} \]
Сократим дробь.
Таким образом, решением системы является:
\[ y = \frac{-57}{83}, \quad z = \frac{1800}{664} \]
Эти значения можно еще раз подставить в исходные уравнения для проверки.
