Решение:
Пусть событие $A$ - стрелок попадет во все мишени, и событие $B$ - среди первых пяти выстрелов хотя бы один промах.
Мы знаем, что для сбития всех 8 мишеней стрелку потребовалось 9 выстрелов. То есть, в последних четырех выстрелах обязательно было попадание во все мишени.
Посмотрим на вероятность события $A$. В первых пяти выстрелах не должно быть ни одного промаха, и в последних четырех выстрелах должны быть обязательно все попадания:
- Вероятность события $A$: $\left(\frac{1}{9}\right)^8$
Теперь посмотрим на вероятность события $B$, то есть хотя бы одного промаха среди первых пяти выстрелов. Это равно вероятности комплементарного события, когда все попадания сделаны в первые пять выстрелов:
- Вероятность события $B$: $1 - \left(\frac{1}{9}\right)^5$
Таким образом, искомая вероятность будет равна:
[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) = \left(\frac{1}{9}\right)^8 \cdot \left(1 - \left(\frac{1}{9}\right)^5\right) ]
Вычислим данное выражение. В итоге, получаем вероятность того, что среди первых пяти выстрелов хотя бы один промах:
[ P(A \cap B) \approx 0.0000000007137 ]
Таким образом, искомая вероятность очень близка к нулю, что означает, что среди первых пяти выстрелов с большой вероятностью все попадания.
