Реши

Давайте разберём решение задачи, связанной с векторами. Нам даны следующие векторы: - \(\vec{a} = (1, -1, 1)\) - \(\vec{b} = (0, 2, -2)\) - \(\vec{c} = (-2, 0, 4)\) - \(\vec{d} = (2, 1, -3)\) Необходимо найти координаты следующих выражений: ### а) \(3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}\) Поэтапное решение: 1. Умножим вектор \(\vec{a}\) на 3: \[ 3\vec{a} = (3 \times 1, 3 \times -1, 3 \times 1) = (3, -3, 3) \] 2. Умножим вектор \(\vec{b}\) на 2: \[ 2\vec{b} = (2 \times 0, 2 \times 2, 2 \times -2) = (0, 4, -4) \] 3. Оставим вектор \(-\vec{c}\) без изменений (так как он уже указан с минусом): \[ -\vec{c} = (-(-2), -(0), -(4)) = (2, 0, -4) \] 4. Сложим полученные векторы: \[ 3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = (3 + 0 + 2, -3 + 4 + 0, 3 - 4 - 4) = (5, 1, -5) \] ### б) \(-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d}\) Поэтапное решение: 1. Возьмём \(-\vec{a}\): \[ -\vec{a} = (-(1), -(-1), -(1)) = (-1, 1, -1) \] 2. Умножим вектор \(\vec{c}\) на 2: \[ 2\vec{c} = (2 \times -2, 2 \times 0, 2 \times 4) = (-4, 0, 8) \] 3. Возьмём \(-\vec{d}\): \[ -\vec{d} = (-(2), -(1), -(-3)) = (-2, -1, 3) \] 4. Сложим полученные векторы: \[ -\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = (-1 - 4 - 2, 1 + 0 - 1, -1 + 8 + 3) = (-7, 0, 10) \] ### в) \(0.1\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{d}\) Поэтапное решение: 1. Умножим вектор \(\vec{a}\) на 0.1: \[ 0.1\vec{a} = (0.1 \times 1, 0.1 \times -1, 0.1 \times 1) = (0.1, -0.1, 0.1) \] 2. Умножим вектор \(\vec{b}\) на 3: \[ 3\vec{b} = (3 \times 0, 3 \times 2, 3 \times -2) = (0, 6, -6) \] 3. Умножим вектор \(-\vec{d}\) на 5: \[ -5\vec{d} = 5 \times (-(2), -(1), -(-3)) = (-10, -5, 15) \] 4. Сложим полученные векторы: \[ 0.1\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{d} = (0.1 + 0 - 10, -0.1 + 6 - 5, 0.1 - 6 + 15) = (-9.9, 0.9, 9.1) \] ### г) \((2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b} + 4(\vec{c} - \vec{d}))\) Давайте решим выражение поэтапно: 1. \((2\vec{a} + 3\vec{b})\): - \(2\vec{a} = (2 \times 1, 2 \times -1, 2 \times 1) = (2, -2, 2)\) - \(3\vec{b} = (3 \times 0, 3 \times 2, 3 \times -2) = (0, 6, -6)\) - \(2\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 0, -2 + 6, 2 - 6) = (2, 4, -4)\) 2. \((\vec{a} - 2\vec{b} + 4(\vec{c} - \vec{d}))\): - \( \vec{a} = (1, -1, 1)\) - \( -2\vec{b} = 2 \times (-(0), -(2), -(-2)) = (0, -4, 4)\) - \(4(\vec{c} - \vec{d})\): - \(\vec{c} - \vec{d} = (-2, 0, 4) - (2, 1, -3) = (-2 - 2, 0 - 1, 4 + 3) = (-4, -1, 7)\) - \(4(-4, -1, 7) = (4 \times -4, 4 \times -1, 4 \times 7) = (-16, -4, 28)\) - \(\vec{a} - 2\vec{b} + 4(\vec{c} - \vec{d}) = (1 + 0 - 16, -1 - 4 - 4, 1 + 4 + 28) = (-15, -9, 33)\) 3. Скалярное произведение \((2, 4, -4) \cdot (-15, -9, 33)\): \[ (2 \times -15) + (4 \times -9) + (-4 \times 33) = -30 - 36 - 132 = -198 \] Таким образом, результаты: - а) \( (5, 1, -5) \) - б) \( (-7, 0, 10) \) - в) \( (-9.9, 0.9, 9.1) \) - г) \(-198\)