Реши

Давайте разберём решение задачи, связанной с векторами.

Нам даны следующие векторы:

• \(\vec{a} = (1, -1, 1)\)
• \(\vec{b} = (0, 2, -2)\)
• \(\vec{c} = (-2, 0, 4)\)
• \(\vec{d} = (2, 1, -3)\)

Необходимо найти координаты следующих выражений:

а) \(3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c}\)

Поэтапное решение:

1. Умножим вектор \(\vec{a}\) на 3: \[ 3\vec{a} = (3 \times 1, 3 \times -1, 3 \times 1) = (3, -3, 3) \]

2. Умножим вектор \(\vec{b}\) на 2: \[ 2\vec{b} = (2 \times 0, 2 \times 2, 2 \times -2) = (0, 4, -4) \]

3. Оставим вектор \(-\vec{c}\) без изменений (так как он уже указан с минусом): \[ -\vec{c} = (-(-2), -(0), -(4)) = (2, 0, -4) \]

4. Сложим полученные векторы: \[ 3\vec{a} + 2\vec{b} - \vec{c} = (3 + 0 + 2, -3 + 4 + 0, 3 - 4 - 4) = (5, 1, -5) \]

б) \(-\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d}\)

Поэтапное решение:

1. Возьмём \(-\vec{a}\): \[ -\vec{a} = (-(1), -(-1), -(1)) = (-1, 1, -1) \]

2. Умножим вектор \(\vec{c}\) на 2: \[ 2\vec{c} = (2 \times -2, 2 \times 0, 2 \times 4) = (-4, 0, 8) \]

3. Возьмём \(-\vec{d}\): \[ -\vec{d} = (-(2), -(1), -(-3)) = (-2, -1, 3) \]

4. Сложим полученные векторы: \[ -\vec{a} + 2\vec{c} - \vec{d} = (-1 - 4 - 2, 1 + 0 - 1, -1 + 8 + 3) = (-7, 0, 10) \]

в) \(0.1\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{d}\)

Поэтапное решение:

1. Умножим вектор \(\vec{a}\) на 0.1: \[ 0.1\vec{a} = (0.1 \times 1, 0.1 \times -1, 0.1 \times 1) = (0.1, -0.1, 0.1) \]

2. Умножим вектор \(\vec{b}\) на 3: \[ 3\vec{b} = (3 \times 0, 3 \times 2, 3 \times -2) = (0, 6, -6) \]

3. Умножим вектор \(-\vec{d}\) на 5: \[ -5\vec{d} = 5 \times (-(2), -(1), -(-3)) = (-10, -5, 15) \]

4. Сложим полученные векторы: \[ 0.1\vec{a} + 3\vec{b} - 5\vec{d} = (0.1 + 0 - 10, -0.1 + 6 - 5, 0.1 - 6 + 15) = (-9.9, 0.9, 9.1) \]

г) \((2\vec{a} + 3\vec{b}) \cdot (\vec{a} - 2\vec{b} + 4(\vec{c} - \vec{d}))\)

Давайте решим выражение поэтапно:

1. \((2\vec{a} + 3\vec{b})\):

   • \(2\vec{a} = (2 \times 1, 2 \times -1, 2 \times 1) = (2, -2, 2)\)
   • \(3\vec{b} = (3 \times 0, 3 \times 2, 3 \times -2) = (0, 6, -6)\)
   • \(2\vec{a} + 3\vec{b} = (2 + 0, -2 + 6, 2 - 6) = (2, 4, -4)\)

2. \((\vec{a} - 2\vec{b} + 4(\vec{c} - \vec{d}))\):

   • \( \vec{a} = (1, -1, 1)\)
   • \( -2\vec{b} = 2 \times (-(0), -(2), -(-2)) = (0, -4, 4)\)
   • \(4(\vec{c} - \vec{d})\):
     • \(\vec{c} - \vec{d} = (-2, 0, 4) - (2, 1, -3) = (-2 - 2, 0 - 1, 4 + 3) = (-4, -1, 7)\)
     • \(4(-4, -1, 7) = (4 \times -4, 4 \times -1, 4 \times 7) = (-16, -4, 28)\)
   • \(\vec{a} - 2\vec{b} + 4(\vec{c} - \vec{d}) = (1 + 0 - 16, -1 - 4 - 4, 1 + 4 + 28) = (-15, -9, 33)\)

3. Скалярное произведение \((2, 4, -4) \cdot (-15, -9, 33)\): \[ (2 \times -15) + (4 \times -9) + (-4 \times 33) = -30 - 36 - 132 = -198 \]

Таким образом, результаты:

• а) \( (5, 1, -5) \)
• б) \( (-7, 0, 10) \)
• в) \( (-9.9, 0.9, 9.1) \)
• г) \(-198\)