1251. Решите неравенство 3х2 + 3х - 6 < (х - 1)".
Чтобы решить неравенство \(3x^2 + 3x - 6 < (x - 1)\), следуем следующим шагам:
Шаг 1: Переносим все члены на одну сторону
Переписываем неравенство так, чтобы все члены находились слева:
\[ 3x^2 + 3x - 6 - (x - 1) < 0 \]
Шаг 2: Упрощаем выражение
Раскрываем скобки и группируем подобные члены:
\[ 3x^2 + 3x - 6 - x + 1 < 0 \]
Объединяем похожие члены:
\[ 3x^2 + 2x - 5 < 0 \]
Шаг 3: Решаем квадратное неравенство
Для решения квадратного неравенства \(3x^2 + 2x - 5 < 0\) найдем его корни, решив уравнение:
\[ 3x^2 + 2x - 5 = 0 \]
Используем дискриминант \(D\) для нахождения корней квадратного уравнения:
\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \times 3 \times (-5) \]
\[ D = 4 + 60 = 64 \]
Так как дискриминант больше нуля, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 \pm \sqrt{64}}{6} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-2 \pm 8}{6} \]
\[ x_1 = \frac{6}{6} = 1, \quad x_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \]
Шаг 4: Определяем интервалы знаков
Найдем интервалы, в которых выражение \(3x^2 + 2x - 5\) будет меньше нуля. Корни делят числовую прямую на интервалы:
- \(x < -\frac{5}{3}\)
- \(-\frac{5}{3} < x < 1\)
- \(x > 1\)
Подставим контрольные точки из каждого интервала в выражение \(3x^2 + 2x - 5\) для определения знака:
- Для \(x = -2\) (интервал \(x < -\frac{5}{3}\)): \(3(-2)^2 + 2(-2) - 5 = 12 - 4 - 5 > 0\)
- Для \(x = 0\) (интервал \(-\frac{5}{3} < x < 1\)): \(3(0)^2 + 2(0) - 5 = -5 < 0\)
- Для \(x = 2\) (интервал \(x > 1\)): \(3(2)^2 + 2(2) - 5 = 12 + 4 - 5 > 0\)
Шаг 5: Записываем ответ
Неравенство выполняется в интервале, где выражение меньше нуля:
\[ x \in \left(-\frac{5}{3}, 1\right) \]
Это решение определяет область значений \(x\), при которых неравенство \(3x^2 + 2x - 5 < 0\) истинно.
