.

Чтобы помочь понять решение задачи из контрольной работы по теме "Квадратичная функция", разберем пункты по порядку. ### 1. Постройте график функции \( y = x^2 + 2x + 3 \). **Решение:** Эта функция является квадратичной и имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где: - \( a = 1 \), - \( b = 2 \), - \( c = 3 \). Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \( a \) положительный. **Шаги построения графика:** 1. **Найдем вершину параболы.** - Формула для абсциссы вершины: \( x = -\frac{b}{2a} \). - Подставляем значения: \( x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \). - Найдем ординату вершины, подставив \( x = -1 \) в уравнение функции: \[ y = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2. \] - Вершина параболы: \( (-1, 2) \). 2. **Найдем точки пересечения с осью \( y \).** - При \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3. \] - Точка пересечения: \( (0, 3) \). 3. **Найдем точки пересечения с осью \( x \).** - Необходимо решить уравнение: \( x^2 + 2x + 3 = 0 \). - Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \). - Так как \( D < 0 \), действительных корней нет (парабола не пересекает ось \( x \)). 4. **Построим график:** - Отметим вершину и точку пересечения с осью \( y \). - Поскольку дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось \( x \). - Парабола симметрична относительно прямой \( x = -1 \). ### 2. Решите графически уравнение \( x^2 + 2x + 3 = 0 \). **Решение:** - Из графика видно, что парабола не пересекает ось \( x \), следовательно, уравнение \( x^2 + 2x + 3 = 0 \) не имеет действительных решений. Обратитесь к построенному графику, чтобы визуально подтвердить отсутствие точек пересечения с осью \( x \). ### 3. Сколько решений имеет система уравнений? Система включает: \[ \begin{cases} y = x^2 + 2x + 3 \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \end{cases} \] **Решение:** 1. **График прямой:** - Начальная точка (\( y \)-пересечение): \( (0, \frac{7}{2}) = (0, 3.5) \). - Наклон (коэффициент перед \( x \)) равен \(-\frac{1}{2}\), это указывает на линию, идущую вниз. 2. **Найдем точки пересечения графиков:** - Приравняв: \( x^2 + 2x + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \). - Переносим все в одну сторону: \[ x^2 + \frac{5}{2}x + \left(3 - \frac{7}{2}\right) = 0, \] \[ x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{1}{2} = 0. \] 3. **Решим квадратное уравнение:** Используем дискриминант: - \( D = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \). - \( D = \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{4} + \frac{8}{4} = \frac{33}{4} > 0 \). Поскольку дискриминант положительный, система имеет два решения (две точки пересечения). Таким образом, система имеет два решения.