.

Чтобы помочь понять решение задачи из контрольной работы по теме "Квадратичная функция", разберем пункты по порядку.

1. Постройте график функции \( y = x^2 + 2x + 3 \).

Решение:

Эта функция является квадратичной и имеет вид \( y = ax^2 + bx + c \), где:

• \( a = 1 \),
• \( b = 2 \),
• \( c = 3 \).

Это парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент \( a \) положительный.

Шаги построения графика:

1. Найдем вершину параболы.

   • Формула для абсциссы вершины: \( x = -\frac{b}{2a} \).
   • Подставляем значения: \( x = -\frac{2}{2 \times 1} = -1 \).
   • Найдем ординату вершины, подставив \( x = -1 \) в уравнение функции: \[ y = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2. \]
   • Вершина параболы: \( (-1, 2) \).

2. Найдем точки пересечения с осью \( y \).

   • При \( x = 0 \): \[ y = 0^2 + 2 \cdot 0 + 3 = 3. \]
   • Точка пересечения: \( (0, 3) \).

3. Найдем точки пересечения с осью \( x \).

   • Необходимо решить уравнение: \( x^2 + 2x + 3 = 0 \).
   • Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8 \).
   • Так как \( D < 0 \), действительных корней нет (парабола не пересекает ось \( x \)).

4. Построим график:

   • Отметим вершину и точку пересечения с осью \( y \).
   • Поскольку дискриминант отрицательный, парабола не пересекает ось \( x \).
   • Парабола симметрична относительно прямой \( x = -1 \).

2. Решите графически уравнение \( x^2 + 2x + 3 = 0 \).

Решение:

• Из графика видно, что парабола не пересекает ось \( x \), следовательно, уравнение \( x^2 + 2x + 3 = 0 \) не имеет действительных решений.

Обратитесь к построенному графику, чтобы визуально подтвердить отсутствие точек пересечения с осью \( x \).

3. Сколько решений имеет система уравнений?

Система включает: \[ \begin{cases} y = x^2 + 2x + 3 \\ y = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \end{cases} \]

Решение:

1. График прямой:

   • Начальная точка (\( y \)-пересечение): \( (0, \frac{7}{2}) = (0, 3.5) \).
   • Наклон (коэффициент перед \( x \)) равен \(-\frac{1}{2}\), это указывает на линию, идущую вниз.

2. Найдем точки пересечения графиков:

   • Приравняв: \( x^2 + 2x + 3 = -\frac{1}{2}x + \frac{7}{2} \).
   • Переносим все в одну сторону: \[ x^2 + \frac{5}{2}x + \left(3 - \frac{7}{2}\right) = 0, \] \[ x^2 + \frac{5}{2}x - \frac{1}{2} = 0. \]

3. Решим квадратное уравнение:

   Используем дискриминант:

   • \( D = \left(\frac{5}{2}\right)^2 - 4 \times 1 \times \left(-\frac{1}{2}\right) \).
   • \( D = \frac{25}{4} + 2 = \frac{25}{4} + \frac{8}{4} = \frac{33}{4} > 0 \).

Поскольку дискриминант положительный, система имеет два решения (две точки пересечения).

Таким образом, система имеет два решения.