значение производной функции в точке

Для определения значения производной функции в заданной точке сначала найдем общую форму производной, а затем подставим значение \( x_0 = 3 \).

Задана функция:

\[ y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25} \]

Найдем производную:

Обозначим подкоренное выражение: \[ u = 4x^2 - 20x + 25 \]

Тогда функция будет записана как: \[ y = \sqrt{u} \]

Теперь используем правило для нахождения производной квадратного корня: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' \]

Найдем производную \( u \):

\[ u = 4x^2 - 20x + 25 \] \[ u' = \frac{d}{dx}(4x^2) - \frac{d}{dx}(20x) + \frac{d}{dx}(25) \] \[ u' = 8x - 20 \]

Подставим \( u' \) в выражение для \( y' \):

\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 - 20x + 25}} \cdot (8x - 20) \]

Подставим \( x_0 = 3 \) для нахождения конкретного значения производной:

Сначала найдем значение подкоренного выражения при \( x = 3 \): \[ u = 4(3)^2 - 20(3) + 25 \] \[ u = 4 \cdot 9 - 60 + 25 \] \[ u = 36 - 60 + 25 = 1 \]

Теперь подставим в производную: \[ y' = \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot (8 \times 3 - 20) \] \[ y' = \frac{1}{2} \cdot (24 - 20) \] \[ y' = \frac{1}{2} \cdot 4 \] \[ y' = 2 \]

Таким образом, значение производной функции в точке \( x_0 = 3 \) равно \( 2 \).