Для определения значения производной функции в заданной точке сначала найдем общую форму производной, а затем подставим значение ( x_0 = 3 ).
Задана функция:
[ y = \sqrt{4x^2 - 20x + 25} ]
Найдем производную:
Обозначим подкоренное выражение:
[ u = 4x^2 - 20x + 25 ]
Тогда функция будет записана как:
[ y = \sqrt{u} ]
Теперь используем правило для нахождения производной квадратного корня:
[ y' = \frac{1}{2\sqrt{u}} \cdot u' ]
Найдем производную ( u ):
[ u = 4x^2 - 20x + 25 ]
[ u' = \frac{d}{dx}(4x^2) - \frac{d}{dx}(20x) + \frac{d}{dx}(25) ]
[ u' = 8x - 20 ]
Подставим ( u' ) в выражение для ( y' ):
[ y' = \frac{1}{2\sqrt{4x^2 - 20x + 25}} \cdot (8x - 20) ]
Подставим ( x_0 = 3 ) для нахождения конкретного значения производной:
Сначала найдем значение подкоренного выражения при ( x = 3 ):
[ u = 4(3)^2 - 20(3) + 25 ]
[ u = 4 \cdot 9 - 60 + 25 ]
[ u = 36 - 60 + 25 = 1 ]
Теперь подставим в производную:
[ y' = \frac{1}{2\sqrt{1}} \cdot (8 \times 3 - 20) ]
[ y' = \frac{1}{2} \cdot (24 - 20) ]
[ y' = \frac{1}{2} \cdot 4 ]
[ y' = 2 ]
Таким образом, значение производной функции в точке ( x_0 = 3 ) равно ( 2 ).
