И В равностороннем треугольнике, сторона которого равна 28 см, соединены середины сторон, в полученном треугольнике опять соединены середины сторон и т. Д. (см. рис.). Вычисли…

Давайте разберем задачу пошагово.

Основная задача

1. Равносторонний треугольник:

   • Начнем с равностороннего треугольника, сторона которого равна 28 см.

2. Связывание середины сторон:

   • Когда мы соединяем середины сторон равностороннего треугольника, получается новый равносторонний треугольник.
   • Сторона нового треугольника будет в два раза меньше: \( \frac{28}{2} = 14 \) см, и так далее.

3. Геометрическая прогрессия:

   • Это уменьшение сторон треугольника образует геометрическую прогрессию с первым членом \( b_1 = 28 \), и знаменателем \( q = \frac{1}{2} \).

4. Периметр n-го треугольника:

   • Периметр равен \( 3 \times (\text{сторона треугольника}) \).
   • Следовательно, первый периметр \( P_1 = 3 \times 28 = 84 \), второй \( P_2 = 3 \times 14 = 42 \), и так далее.

5. Сумма периметров всех треугольников:

   • Сумма всех членов геометрической прогрессии: \[ S = \frac{b_1}{1 - q} = \frac{84}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{84}{0.5} = 168 \text{ см} \]

Дополнительные вопросы

1. Сторона третьего треугольника:

   • Третий треугольник: \( \text{Сторона} = 28 \times \left(\frac{1}{2}\right)^2 = 28 \times \frac{1}{4} = 7 \text{ см} \).

2. Периметр наибольшего треугольника:

   • Наибольший треугольник — это изначальный треугольник.
   • Периметр равен: \( 3 \times 28 = 84 \text{ см} \).

3. Выбор формулы:

   • Используется формула суммы членов убывающей геометрической прогрессии: \[ \frac{b_1}{1 - q} \]
   • В данном случае: \( \frac{84}{1 - \frac{1}{2}} = 168 \).

Ответы:

1. 7 см
2. 84 см
3. Формула: \( \frac{b_1}{1 - q} \)

Надеюсь, это помогает понять решение задачи!