4-3

Давайте разберём задачу из приведённого билета.

Билет №2: Задача 1.

Дано:

• Параллелограмм ABCD.
• Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Доказать:

• Что диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.

Решение:

Рассмотрим параллелограмм \(ABCD\), где диагонали \(AC\) и \(BD\) пересекаются в точке \(O\).

1. Воспользуемся свойством параллелограммов: в любом параллелограмме противоположные стороны равны и параллельны. То есть, \(AB \parallel CD\) и \(AB = CD\), а также \(AD \parallel BC\) и \(AD = BC\).

2. Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \):

   • (1) \(AB \parallel CD\) и отрезок \(BD\) пересекает их, следовательно, углы \( \angle ABD = \angle CDB\) (накрест лежащие углы).
   • (2) \(AD \parallel BC\) и отрезок \(AC\) их пересекает, следовательно, углы \( \angle DAC = \angle BCA \) (накрест лежащие углы).

3. В этих треугольниках также есть общая сторона \(AC\).

4. По признаку равенства треугольников \( \triangle AOB \cong \triangle COD\) (по двум углам и стороне между ними).

5. Следовательно, отрезки \(AO = OC\) и \(BO = OD\).

Итак, доказано, что диагонали \(AC\) и \(BD\) делятся точкой \(O\) пополам, то есть параллелограмм обладает свойством деления диагоналей пополам в точке их пересечения.

Это собственно и следовало доказать.

Если есть на какой-то стадии возникли вопросы, пожалуйста, дайте знать, и я объясню подробнее!