Проведено 1100 испытаний Бернулли. 0,4 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом…
Проведено 1100 испытаний Бернулли. 0,4 составила вероятность успешного испытания (для каждого случая). Оцени вероятность того, что в проведённых испытаниях разница между числом успехов и средним числом успехов составляет меньше 40. Важно: оценку произведи с помощью неравенства Чебышева. (Ответ округли до сотых.)
Для оценки вероятности с помощью неравенства Чебышева нам необходимо использовать следующую формулу:
\[ P(|X - \mu| < k\sigma) \geq 1 - \frac{1}{k^2} \]
Где:
- \( X \) - случайная величина (число успехов)
- \( \mu \) - среднее число успехов (\(np\) для распределения Бернулли)
- \( \sigma \) - среднеквадратичное отклонение (\( \sqrt{npq} \) для распределения Бернулли)
- \( k \) - параметр, определяющий ширину интервала
Для данной задачи:
- \( n = 1100 \) - количество испытаний
- \( p = 0,4 \) - вероятность успеха
- \( q = 1 - p = 0,6 \) - вероятность неуспеха
- \( \mu = np = 1100 \times 0,4 = 440 \) - среднее число успехов
- \( \sigma = \sqrt{npq} = \sqrt{1100 \times 0,4 \times 0,6} \approx 15,49 \) - среднеквадратичное отклонение
Теперь мы можем подставить значения в формулу неравенства Чебышева и найти вероятность:
\[ P(|X - 440| < 40) \geq 1 - \frac{1}{(40/15,49)^2} \]
\[ P(400 < X < 480) \geq 1 - \frac{1}{(2,58)^2} \]
\[ P(400 < X < 480) \geq 1 - \frac{1}{6,6564} \]
\[ P(400 < X < 480) \geq 0,8507 \]
Получается, что вероятность того, что разница между числом успехов и средним числом успехов будет менее 40, составляет не менее 0,8507 или 85,07%.
Ответ: 0,85.
