Решите уравнение
Давайте решим уравнение:
\[ \sqrt{6 - x} = x \]
Шаг 1: Избавимся от квадратного корня
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы убрать квадратный корень:
\[ (\sqrt{6 - x})^2 = x^2 \]
Это даст:
\[ 6 - x = x^2 \]
Шаг 2: Приведем уравнение к стандартной форме квадратного уравнения
Перенесем все члены на одну сторону:
\[ x^2 + x - 6 = 0 \]
Шаг 3: Решим квадратное уравнение
Для решения квадратного уравнения используем дискриминант. Формула дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac \]
Где \( a = 1\), \( b = 1\), \( c = -6\). Подставим эти значения:
\[ D = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Шаг 4: Найдем корни уравнения
Корни квадратного уравнения находятся по формуле:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставим найденные значения:
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} \]
\[ x_{1,2} = \frac{-1 \pm 5}{2} \]
Это дает нам два корня:
\[ x_1 = \frac{-1 + 5}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \]
Шаг 5: Проверка корней
Так как у нас есть квадратный корень в изначальном уравнении, необходимо проверить, подходят ли найденные корни:
Подставим \(x = 2\) в исходное уравнение:
\[ \sqrt{6 - 2} = 2 \rightarrow \sqrt{4} = 2 \rightarrow 2 = 2 \]
Это верное равенство.
Подставим \(x = -3\):
\[ \sqrt{6 - (-3)} = -3 \rightarrow \sqrt{9} = -3 \rightarrow 3 \neq -3 \]
Это неверное равенство.
Ответ
Единственное решение уравнения:
\[ x = 2 \]
