Вычислите уравнение

Решим уравнение: \[ \sqrt{4x^2 - 9x + 2} = x - 2 \] **Шаг 1: Устранение квадратного корня** Чтобы убрать квадратный корень, возведем обе стороны уравнения в квадрат: \[ (\sqrt{4x^2 - 9x + 2})^2 = (x - 2)^2 \] Получаем: \[ 4x^2 - 9x + 2 = (x - 2)^2 \] **Шаг 2: Раскрытие скобок справа** Раскроем скобки справа: \[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \] Теперь уравнение выглядит так: \[ 4x^2 - 9x + 2 = x^2 - 4x + 4 \] **Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду** Переносим все члены на одну сторону уравнения: \[ 4x^2 - 9x + 2 - x^2 + 4x - 4 = 0 \] Соберем подобные члены: \[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \] **Шаг 4: Решение квадратного уравнения** Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\): \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Для нашего уравнения \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -2\). Подставим эти значения в формулу: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} \] \[ x = \frac{5 \pm 7}{6} \] Это дает два решения: 1. \(\frac{5 + 7}{6} = 2\) 2. \(\frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\) **Шаг 5: Проверка решений** Необходимо проверить каждое из решений подстановкой в исходное уравнение, так как возведение в квадрат может добавить посторонние корни. 1. \(x = 2\): \[ x - 2 = 0 \] \[ \sqrt{4(2)^2 - 9(2) + 2} = \sqrt{16 - 18 + 2} = \sqrt{0} = 0 \] Подходит. 2. \(x = -\frac{1}{3}\): \[ x - 2 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} \] \[ \sqrt{4\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 9 \left(-\frac{1}{3}\right) + 2} \] \[ = \sqrt{\frac{4}{9} + 3 + 2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{27}{9} + \frac{18}{9}} \] \[ = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3} \] Должно быть -\frac{7}{3}, но эта сторона положительна, значит, не подходит. **Ответ: \(x = 2\)**