Вычислите уравнение
Решим уравнение:
\[ \sqrt{4x^2 - 9x + 2} = x - 2 \]
Шаг 1: Устранение квадратного корня
Чтобы убрать квадратный корень, возведем обе стороны уравнения в квадрат:
\[ (\sqrt{4x^2 - 9x + 2})^2 = (x - 2)^2 \]
Получаем:
\[ 4x^2 - 9x + 2 = (x - 2)^2 \]
Шаг 2: Раскрытие скобок справа
Раскроем скобки справа:
\[ (x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4 \]
Теперь уравнение выглядит так:
\[ 4x^2 - 9x + 2 = x^2 - 4x + 4 \]
Шаг 3: Приведение уравнения к стандартному виду
Переносим все члены на одну сторону уравнения:
\[ 4x^2 - 9x + 2 - x^2 + 4x - 4 = 0 \]
Соберем подобные члены:
\[ 3x^2 - 5x - 2 = 0 \]
Шаг 4: Решение квадратного уравнения
Используем формулу для решения квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\):
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Для нашего уравнения \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -2\). Подставим эти значения в формулу:
\[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2)}}{2 \cdot 3} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 24}}{6} \]
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{49}}{6} \]
\[ x = \frac{5 \pm 7}{6} \]
Это дает два решения:
- \(\frac{5 + 7}{6} = 2\)
- \(\frac{5 - 7}{6} = -\frac{1}{3}\)
Шаг 5: Проверка решений
Необходимо проверить каждое из решений подстановкой в исходное уравнение, так как возведение в квадрат может добавить посторонние корни.
- \(x = 2\):
\[ x - 2 = 0 \]
\[ \sqrt{4(2)^2 - 9(2) + 2} = \sqrt{16 - 18 + 2} = \sqrt{0} = 0 \]
Подходит.
- \(x = -\frac{1}{3}\):
\[ x - 2 = -\frac{1}{3} - 2 = -\frac{7}{3} \]
\[ \sqrt{4\left(-\frac{1}{3}\right)^2 - 9 \left(-\frac{1}{3}\right) + 2} \]
\[ = \sqrt{\frac{4}{9} + 3 + 2} = \sqrt{\frac{4}{9} + \frac{27}{9} + \frac{18}{9}} \]
\[ = \sqrt{\frac{49}{9}} = \frac{7}{3} \]
Должно быть -\frac{7}{3}, но эта сторона положительна, значит, не подходит.
Ответ: \(x = 2\)
