Решите уравнение
Для решения уравнения \( \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2\sqrt{2} \) будем следовать следующим шагам:
Шаг 1: Переписывание уравнения
Начнем с уравнения:
\[ \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2\sqrt{2} \]
Шаг 2: Умножение под корнем
Слева у нас произведение корней, что можно записать как один корень:
\[ \sqrt{(4 + x)(5 - x)} = 2\sqrt{2} \]
Шаг 3: Устранение квадратного корня
Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня:
\[ (4 + x)(5 - x) = (2\sqrt{2})^2 \]
\[ (4 + x)(5 - x) = 8 \]
Шаг 4: Раскрытие скобок
Раскроем скобки слева:
\[ 4 \cdot 5 + 4 \cdot (-x) + x \cdot 5 + x \cdot (-x) = 8 \]
\[ 20 - 4x + 5x - x^2 = 8 \]
Шаг 5: Приведение подобных членов
Приведем подобные члены:
\[ -x^2 + x + 20 = 8 \]
Шаг 6: Упрощение выражения
Переместим все в левую часть уравнения:
\[ -x^2 + x + 20 - 8 = 0 \]
\[ -x^2 + x + 12 = 0 \]
Шаг 7: Решение квадратного уравнения
Для удобства сделаем все коэффициенты положительными, умножив на -1:
\[ x^2 - x - 12 = 0 \]
Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \]
Корни уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \]
Таким образом, \( x_1 = \frac{8}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \).
Шаг 8: Проверка решений
Проверим оба корня:
- Для \( x = 4 \):
\[ \sqrt{4 + 4} \cdot \sqrt{5 - 4} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{1} = 2\sqrt{2} \]
Удовлетворяет уравнению.
- Для \( x = -3 \):
\[ \sqrt{4 - 3} \cdot \sqrt{5 + 3} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{8} \]
Удовлетворяет уравнению.
Ответ
Решениями уравнения являются \( x = 4 \) и \( x = -3 \).
