Решите уравнение

Для решения уравнения \( \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2\sqrt{2} \) будем следовать следующим шагам: ### Шаг 1: Переписывание уравнения Начнем с уравнения: \[ \sqrt{4 + x} \cdot \sqrt{5 - x} = 2\sqrt{2} \] ### Шаг 2: Умножение под корнем Слева у нас произведение корней, что можно записать как один корень: \[ \sqrt{(4 + x)(5 - x)} = 2\sqrt{2} \] ### Шаг 3: Устранение квадратного корня Возведем обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от корня: \[ (4 + x)(5 - x) = (2\sqrt{2})^2 \] \[ (4 + x)(5 - x) = 8 \] ### Шаг 4: Раскрытие скобок Раскроем скобки слева: \[ 4 \cdot 5 + 4 \cdot (-x) + x \cdot 5 + x \cdot (-x) = 8 \] \[ 20 - 4x + 5x - x^2 = 8 \] ### Шаг 5: Приведение подобных членов Приведем подобные члены: \[ -x^2 + x + 20 = 8 \] ### Шаг 6: Упрощение выражения Переместим все в левую часть уравнения: \[ -x^2 + x + 20 - 8 = 0 \] \[ -x^2 + x + 12 = 0 \] ### Шаг 7: Решение квадратного уравнения Для удобства сделаем все коэффициенты положительными, умножив на -1: \[ x^2 - x - 12 = 0 \] Решаем квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 \pm \sqrt{49}}{2} = \frac{1 \pm 7}{2} \] Таким образом, \( x_1 = \frac{8}{2} = 4 \) и \( x_2 = \frac{-6}{2} = -3 \). ### Шаг 8: Проверка решений Проверим оба корня: 1. Для \( x = 4 \): \[ \sqrt{4 + 4} \cdot \sqrt{5 - 4} = \sqrt{8} \cdot \sqrt{1} = 2\sqrt{2} \] Удовлетворяет уравнению. 2. Для \( x = -3 \): \[ \sqrt{4 - 3} \cdot \sqrt{5 + 3} = \sqrt{1} \cdot \sqrt{8} = \sqrt{8} \] Удовлетворяет уравнению. ### Ответ Решениями уравнения являются \( x = 4 \) и \( x = -3 \).