Bn геометрическая прогрессии
Для решения задачи о геометрической прогрессии, начнем с анализа данных:
Геометрическая прогрессия — это последовательность чисел \( b_1, b_2, b_3, \ldots \), каждая из которых, начиная со второго, получается умножением предыдущего на одно и то же число, называемое знаменателем прогрессии (\( q \)).
Условие задачи:
\[ b_1 + b_2 + b_3 = 26 \]
\[ b_1b_2 + b_2b_3 = 3b_3(b_2 + b_3) \]Необходимо найти \( S_6 \), где \( S_n \) — сумма первых \( n \) членов прогрессии:
\[ S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q - 1} \]
Теперь решим задачу по шагам:
Шаг 1: Найдем отношения между членами прогрессии
Из условия, прогрессия геометрическая, то: \[ b_2 = b_1q \] \[ b_3 = b_1q^2 \]
Шаг 2: Подставим выражения для \( b_2 \) и \( b_3 \) в уравнения
Подставляем в \( b_1 + b_2 + b_3 = 26 \): \[ b_1 + b_1q + b_1q^2 = 26 \] \[ b_1(1 + q + q^2) = 26 \quad (1) \]
Для второго уравнения: \[ b_1b_2 + b_2b_3 = 3b_3(b_2 + b_3) \] \[ b_1(b_1q) + (b_1q)(b_1q^2) = 3(b_1q^2)(b_1q + b_1q^2) \] \[ b_1^2q(1 + q) = 3b_1^2q^2(1 + q) \]
Сократим на \( b_1^2 \) и \( 1+q \) (предполагая, что \( q \neq -1 \)): \[ q = 3q^2 \] \[ 3q^2 - q = 0 \] \[ q(3q - 1) = 0 \]
Так как \( q = 0 \) невозможно для геометрической прогрессии, то: \[ 3q - 1 = 0 \] \[ q = \frac{1}{3} \]
Шаг 3: Найдем \( b_1 \)
Подставим \( q = \frac{1}{3} \) в (1): \[ b_1\left(1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9}\right) = 26 \] \[ b_1 \cdot \frac{13}{9} = 26 \] \[ b_1 = 26 \cdot \frac{9}{13} = 18 \]
Шаг 4: Найдем \( S_6 \)
Теперь находим \( S_6 \): \[ S_6 = b_1 \frac{q^6 - 1}{q - 1} \] \[ S_6 = 18 \frac{\left(\frac{1}{3}\right)^6 - 1}{\frac{1}{3} - 1} \] \[ S_6 = 18 \frac{\frac{1}{729} - 1}{\frac{1}{3} - 1} \] \[ S_6 = 18 \cdot \frac{-728/729}{-2/3} \] \[ S_6 = 18 \cdot \frac{728}{729} \cdot \frac{3}{2} \] \[ S_6 = 27 \frac{728}{729} \] \[ S_6 \approx 27 \, \text{(так как 728/729 очень близко к 1)} \]
Итак, сумма первых шести членов геометрической прогрессии \( S_6 \approx 27 \).
