x(x+2)>=0 {x>=0 и x<=2

Цель: Понять

Для решения неравенства \(x(x+2) \geq 0\) при условии \(x \geq 0\) и \(x \leq 2\), мы можем использовать метод интервалов.

1. Сначала найдем корни уравнения \(x(x+2) = 0\): \[ x(x+2) = 0 \] \[ x = 0 \text{ или } x = -2 \]

2. Теперь разобьем числовую прямую на интервалы, которые соответствуют неравенству \(x(x+2) \geq 0\):

   • \(-\infty < x < -2\)
   • \(-2 < x < 0\)
   • \(0 \leq x \leq 2\)
   • \(2 < x < +\infty\)

3. Проверим знак выражения \(x(x+2)\) в каждом интервале:

   • Для \(x=-3\), \(x(x+2) = (-3)(-1) = 3 > 0\), значит не подходит.
   • Для \(x=-1\), \(x(x+2) = (-1)(1) = -1 < 0\), значит подходит.
   • Для \(x=1\), \(x(x+2) = (1)(3) = 3 > 0\), значит подходит.
   • Для \(x=3\), \(x(x+2) = (3)(5) = 15 > 0\), значит не подходит.

Таким образом, решение неравенства \(x(x+2) \geq 0\) при условии \(x \geq 0\) и \(x \leq 2\) равно: \[ x \in [-2, 0] \cup [0, 2] \]