Вычислите уравнение
Решим уравнение:
\[ \sqrt{17 + 4\sqrt{x}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{x}} \]
Шаг 1: Упростим уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
\[ (\sqrt{17 + 4\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20 - 2\sqrt{x}})^2 \]
Шаг 2: Уберите корни
Получаем:
\[ 17 + 4\sqrt{x} = 20 - 2\sqrt{x} \]
Шаг 3: Решим относительно \(\sqrt{x}\)
Переносим все, что связано с \(\sqrt{x}\), в одну сторону, а числа — в другую:
\[ 4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20 - 17 \]
\[ 6\sqrt{x} = 3 \]
Шаг 4: Найдем \(\sqrt{x}\)
Разделим обе стороны на 6:
\[ \sqrt{x} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Шаг 5: Решим для \(x\)
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы найти \(x\):
\[ x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \]
Проверка
Подставим \(x = \frac{1}{4}\) обратно в оригинальное уравнение:
Вычислим левую часть:
\[ \sqrt{17 + 4\sqrt{\frac{1}{4}}} = \sqrt{17 + 4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{17 + 2} = \sqrt{19} \]
Вычислим правую часть:
\[ \sqrt{20 - 2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \sqrt{20 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19} \]
Обратите внимание, что левая и правая части равны, следовательно, решение корректно.
Ответ: \(x = \frac{1}{4}\).
