Решим уравнение:
[
\sqrt{17 + 4\sqrt{x}} = \sqrt{20 - 2\sqrt{x}}
]
Шаг 1: Упростим уравнение
Возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:
[
(\sqrt{17 + 4\sqrt{x}})^2 = (\sqrt{20 - 2\sqrt{x}})^2
]
Шаг 2: Уберите корни
Получаем:
[
17 + 4\sqrt{x} = 20 - 2\sqrt{x}
]
Шаг 3: Решим относительно (\sqrt{x})
Переносим все, что связано с (\sqrt{x}), в одну сторону, а числа — в другую:
[
4\sqrt{x} + 2\sqrt{x} = 20 - 17
]
[
6\sqrt{x} = 3
]
Шаг 4: Найдем (\sqrt{x})
Разделим обе стороны на 6:
[
\sqrt{x} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Шаг 5: Решим для (x)
Возведем обе стороны в квадрат, чтобы найти (x):
[
x = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
]
Проверка
Подставим (x = \frac{1}{4}) обратно в оригинальное уравнение:
Вычислим левую часть:
[
\sqrt{17 + 4\sqrt{\frac{1}{4}}} = \sqrt{17 + 4 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{17 + 2} = \sqrt{19}
]
Вычислим правую часть:
[
\sqrt{20 - 2\sqrt{\frac{1}{4}}} = \sqrt{20 - 2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{20 - 1} = \sqrt{19}
]
Обратите внимание, что левая и правая части равны, следовательно, решение корректно.
Ответ: (x = \frac{1}{4}).
