При каких значения х переменная имеет смысл значения
Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) выражения имеют смысл, нужно учитывать правила определения логарифмов. Логарифм определён, если основание логарифма больше нуля и не равно единице, а подлогарифмическое выражение больше нуля.
Выражение: \(\log_{(2x+7)}(3 - 9x)\)
Для существования выражения должны выполняться два условия:
a) Основание логарифма должно быть больше нуля и не равно единице: \[ 2x + 7 > 0 \quad \text{и} \quad 2x + 7 \neq 1 \] Решим первое неравенство: \[ 2x + 7 > 0 \\ 2x > -7 \\ x > -\frac{7}{2} \]
Решим второе неравенство (основание не равно единице): \[ 2x + 7 \neq 1 \\ 2x \neq -6 \\ x \neq -3 \]
b) Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля: \[ 3 - 9x > 0 \\ -9x > -3 \\ x < \frac{1}{3} \]
Совместим полученные условия: \[ -\frac{7}{2} < x < \frac{1}{3} \quad \text{и} \quad x \neq -3 \]
Выражение: \(\log_{11}(x^2 + 3x - 10)\)
Для существования выражения нужно, чтобы подлогарифмическое выражение было больше нуля: \[ x^2 + 3x - 10 > 0 \]
Найдём корни квадратного уравнения \(x^2 + 3x - 10 = 0\) с помощью дискриминанта: \[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \] Корни уравнения: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \] \[ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = -5 \]
Решим неравенство методом интервалов. Корни разделяют числовую ось на интервалы:
Отметки: \( (-\infty, -5) \), \( (-5, 2) \), \( (2, \infty) \).
Знаки на интервалах:
- На интервале \((-\infty, -5)\): выберем точку \(x = -6\), подставим в выражение: \((-6)^2 + 3(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0\), знак \(+\).
- На интервале \((-5, 2)\): выберем точку \(x = 0\), подставим в выражение: \(0^2 + 3 \cdot 0 - 10 = -10 < 0\), знак \(-\).
- На интервале \((2, \infty)\): выберем точку \(x = 3\), подставим в выражение: \(3^2 + 3 \cdot 3 - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0\), знак \(+\).
Подробнее: \( x \in (-\infty, -5) \cup (2, \infty) \).
Теперь можно записать финальные решения для переменной \( x \):
- Для первого выражения: \(-\frac{7}{2} < x < \frac{1}{3}\), \(x \neq -3\).
- Для второго выражения: \( x \in (-\infty, -5) \cup (2, \infty) \).
