При каких значениях переменной X имеет смысл выражения

Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение \( \log_7(x^2 - x - 6) \), нужно помнить, что логарифм от какого-либо числа определён, если это число строго больше нуля. Итак, выражение внутри логарифма должно быть больше нуля: \[ x^2 - x - 6 > 0 \] Теперь решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения: \[ x^2 - x - 6 = 0 \] Решим это уравнение по формуле: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \). \[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \] Получаем два корня: \[ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \] Теперь нужно определить знаки выражения \( x^2 - x - 6 \) на промежутках, разбивающихся этими корнями: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 3) \), \( (3, +\infty) \). 1. **На промежутке \((- \infty, -2)\):** Выберем тестовое значение, например \( x = -3 \): \[ x^2 - x - 6 = (-3)^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \] 2. **На промежутке \((-2, 3)\):** Выберем тестовое значение, например \( x = 0 \): \[ x^2 - x - 6 = 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0 \] 3. **На промежутке \((3, +\infty)\):** Выберем тестовое значение, например \( x = 4 \): \[ x^2 - x - 6 = 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \] Учитывая знаки, искомое множество решений: \( (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \). Таким образом, \( \log_7(x^2 - x - 6) \) имеет смысл при \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \).