При каких значениях переменной X имеет смысл выражения
Чтобы определить, при каких значениях переменной \( x \) имеет смысл выражение \( \log_7(x^2 - x - 6) \), нужно помнить, что логарифм от какого-либо числа определён, если это число строго больше нуля.
Итак, выражение внутри логарифма должно быть больше нуля:
\[ x^2 - x - 6 > 0 \]
Теперь решим квадратное неравенство. Для этого сначала найдём корни соответствующего квадратного уравнения:
\[ x^2 - x - 6 = 0 \]
Решим это уравнение по формуле:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \).
\[ x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6)}}{2 \cdot 1} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 24}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm \sqrt{25}}{2} \] \[ x = \frac{1 \pm 5}{2} \]
Получаем два корня:
\[ x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3 \]
\[ x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
Теперь нужно определить знаки выражения \( x^2 - x - 6 \) на промежутках, разбивающихся этими корнями: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 3) \), \( (3, +\infty) \).
На промежутке \((- \infty, -2)\):
Выберем тестовое значение, например \( x = -3 \):
\[ x^2 - x - 6 = (-3)^2 + 3 - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \]
На промежутке \((-2, 3)\):
Выберем тестовое значение, например \( x = 0 \):
\[ x^2 - x - 6 = 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0 \]
На промежутке \((3, +\infty)\):
Выберем тестовое значение, например \( x = 4 \):
\[ x^2 - x - 6 = 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \]
Учитывая знаки, искомое множество решений: \( (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \).
Таким образом, \( \log_7(x^2 - x - 6) \) имеет смысл при \( x \in (-\infty, -2) \cup (3, +\infty) \).
