При как х значениях переменной х имеет смысл значения
Чтобы логарифм имел смысл, выражение под логарифмом должно быть положительным. Рассмотрим выражение:
\[ \log_{11}(x^2 + 3x - 10) \]
Для этого необходимо, чтобы:
\[ x^2 + 3x - 10 > 0 \]
Решим неравенство:
Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 + 3x - 10 = 0 \) с помощью дискриминанта.
\[ D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 \]
Найдем корни:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 \pm 7}{2} \]
\[ x_1 = \frac{-3 + 7}{2} = \frac{4}{2} = 2 \]
\[ x_2 = \frac{-3 - 7}{2} = \frac{-10}{2} = -5 \]
Решим неравенство \( x^2 + 3x - 10 > 0 \):
Для этого используем метод интервалов. На числовой оси определим интервалы относительно корней \( x = -5 \) и \( x = 2 \).
Проведем тесты на каждом из интервалов:
- Для \( x < -5 \), например \( x = -6 \), имеем \( (-6)^2 + 3(-6) - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0 \).
- Для \( -5 < x < 2 \), например \( x = 0 \), имеем \( 0^2 + 3(0) - 10 = -10 < 0 \).
- Для \( x > 2 \), например \( x = 3 \), имеем \( 3^2 + 3(3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0 \).
Таким образом, выражение под логарифмом положительно на интервалах \( (-\infty, -5) \cup (2, +\infty) \).
Ответ: логарифм имеет смысл при \( x \in (-\infty, -5) \cup (2, +\infty) \).
