При каких значениях переменной X имеет смысл выражения
Чтобы найти значения переменной \( x \), при которых выражение \(\log_7(x^2 - x - 6)\) имеет смысл, нужно учитывать область определения логарифмической функции. Логарифм определён только для положительных чисел, то есть:
\[ x^2 - x - 6 > 0 \]
Решим это неравенство.
Решение квадратного уравнения:
Найдем корни квадратного уравнения \( x^2 - x - 6 = 0 \).
Используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Где \( a = 1 \), \( b = -1 \), \( c = -6 \).
Вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25 \]
Найдём корни: \[ x_1 = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = 3 \] \[ x_2 = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = -2 \]
Решение неравенства:
Корни разбивают числовую ось на интервалы: \((-∞, -2)\), \((-2, 3)\), \( (3, +∞) \).
Проверим знаки выражения \( x^2 - x - 6 \) на этих интервалах:
Выберем тестовую точку \( x = -3 \) для интервала \((-∞, -2)\): \[ (-3)^2 - (-3) - 6 = 9 + 3 - 6 = 6 > 0 \] На этом интервале выражение положительно.
Выберем тестовую точку \( x = 0 \) для интервала \((-2, 3)\): \[ 0^2 - 0 - 6 = -6 < 0 \] На этом интервале выражение отрицательно.
Выберем тестовую точку \( x = 4 \) для интервала \( (3, +∞) \): \[ 4^2 - 4 - 6 = 16 - 4 - 6 = 6 > 0 \] На этом интервале выражение положительно.
Учитывая знаки на интервалах, решение неравенства:
\((-∞, -2) \cup (3, +∞)\)
Таким образом, выражение \(\log_7(x^2 - x - 6)\) имеет смысл при \( x \in (-∞, -2) \cup (3, +∞) \).
