Найти значение выражения

Для того чтобы решить задачи, необходимо использовать свойства логарифмов. Рассмотрим каждое выражение по отдельности.

1. \(\log_2 12 + \log_2 \left(\frac{2}{3}\right)\)

   Используя свойство суммы логарифмов: \(\log_b a + \log_b c = \log_b (a \times c)\).

   \[ \log_2 12 + \log_2 \left(\frac{2}{3}\right) = \log_2 \left(12 \times \frac{2}{3}\right) \] \[ = \log_2 \left(\frac{24}{3}\right) = \log_2 8 \]

   Мы знаем, что \(8 = 2^3\). Следовательно: \[ \log_2 8 = 3 \]

2. \(3 \log_5 3 - \log_5 5.4\)

   Используем свойство: \(n \log_b a = \log_b (a^n)\).

   \[ 3 \log_5 3 = \log_5 (3^3) = \log_5 27 \]

   Подставим в выражение: \[ \log_5 27 - \log_5 5.4 = \log_5 \left(\frac{27}{5.4}\right) \]

   Упростим дробь: \[ \frac{27}{5.4} = 5 \]

   \(\log_5 5 = 1\).

3. \(\log_{0.5} 28 - 4\log_{0.5} \sqrt[4]{21} + \frac{1}{2}\log_{0.5} 144\)

   Упростим каждый логарифм. Используем свойства:

   \(\log_{b} \sqrt[n]{a} = \frac{1}{n} \log_{b} a\).

   Для \(\log_{0.5} \sqrt[4]{21}\): \[ 4\log_{0.5} \sqrt[4]{21} = 4 \times \frac{1}{4} \log_{0.5} 21 = \log_{0.5} 21 \]

   Для \(\frac{1}{2}\log_{0.5} 144\): \[ \frac{1}{2} \log_{0.5} 144 = \log_{0.5} \sqrt{144} = \log_{0.5} 12 \]

   Теперь соберем все вместе: \[ \log_{0.5} 28 - \log_{0.5} 21 + \log_{0.5} 12 = \log_{0.5} \left(\frac{28 \times 12}{21}\right) \]

   Упростим: \[ \frac{28 \times 12}{21} = 16 \]

   \(\log_{0.5} 16 = \log_{0.5} (0.5^{-4}) = -4\).

4. \(\log_{6^2} 3 - \log_{6^2} 81\)

   Заметим, что \(6^2 = 36\), \(81 = 3^4\).

   Используем свойства: \[ \log_{36} 3 - \log_{36} 81 = \log_{36} \left(\frac{3}{81}\right) \]

   Упростим: \[ \frac{3}{81} = \frac{1}{27} = 3^{-3} \]

   \(\log_{36} \left(3^{-3}\right) = -3 \log_{36} 3\).

   \(\log_{36} 3 = \frac{1}{2}\) (так как \(36 = 6^2\)).

   Поэтому: \[ -3 \times \frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \]

Ответы:

1. 3
2. 1
3. -4
4. \(-\frac{3}{2}\)