Найдите значение выражения

Чтобы решить задачи с логарифмами, нужно помнить основные свойства логарифмов. Рассмотрим подробно каждую часть выражения:

1. \( \log_2 12 + \log_2 \left(\frac{2}{3}\right) \)

   Используем свойство логарифма: \( \log_b (A) + \log_b (B) = \log_b (A \times B) \).

   \[ \log_2 12 + \log_2 \left(\frac{2}{3}\right) = \log_2 \left(12 \times \frac{2}{3}\right) = \log_2 \left(8\right) \]

   \( 8 = 2^3 \), поэтому:

   \[ \log_2 8 = 3 \]

2. \( 3\log_5 3 - \log_5 5.4 \)

   Прежде всего, используем свойство: \( a\log_b (c) = \log_b (c^a) \).

   \[ 3\log_5 3 = \log_5 (3^3) = \log_5 27 \]

   Теперь:

   \[ \log_5 27 - \log_5 5.4 = \log_5 \left(\frac{27}{5.4}\right) \]

   Вычисляем \(\frac{27}{5.4} = 5\):

   \[ \log_5 5 = 1 \]

3. \( \log_{0.5} 28 - 4\log_{0.5} \sqrt[4]{21} + \frac{1}{2}\log_{0.5} 144 \)

   Используем свойства:

   \[ 4\log_{0.5} \sqrt[4]{21} = \log_{0.5} (21) \] \[ \frac{1}{2}\log_{0.5} 144 = \log_{0.5} \sqrt{144} = \log_{0.5} 12 \]

   Собираем:

   \[ \log_{0.5} 28 - \log_{0.5} 21 + \log_{0.5} 12 = \log_{0.5} \left(\frac{28 \times 12}{21}\right) \]

   \( \frac{28 \times 12}{21} = 16 \), следовательно:

   \[ \log_{0.5} 16 = \log_{0.5} (2^4) \]

   Поскольку \( 0.5 = 2^{-1} \), то:

   \[ \log_{0.5} (2^4) = 4 \times (-1) = -4 \]

4. \( \frac{\log_6 2}{\log_6 81} \)

   Используем свойство изменения основания логарифма:

   \[ \frac{\log_6 2}{\log_6 81} = \log_{81} 2 \]

   \[ 81 = 3^4, \text{но упростить это выражение не получится из-за отсутствия простых кратных связей.} \]

Каждое из решений постаралось использовать базовые свойства логарифмов, которые применяются для упрощения выражений.