Уравнение окружности: x2+y2=200 Уравнение прямой:т x+y+c=0 Найди значения коэффициента с, с которым прямая и окружность имеет одну общую точку (прямая касается окружности)
Дано уравнение окружности: \( x^2 + y^2 = 200 \) и уравнение прямой: \( x + y + c = 0 \). Необходимо найти значение коэффициента \( c \), при котором прямая и окружность имеют одну общую точку, то есть прямая касается окружности.
Решение:
Уравнение окружности можно представить в каноническом виде \( (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 \), где \( (h, k) \) - координаты центра окружности, а \( r \) - радиус окружности.
Приведем данное уравнение к каноническому виду:
\( x^2 + y^2 = 200 \)
Поскольку у нас нет линейных членов, центр окружности находится в начале координат. Следовательно, \( h = 0 \) и \( k = 0 \). Радиус окружности \( r = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \).
Таким образом, уравнение окружности становится: \( x^2 + y^2 = (10\sqrt{2})^2 \) или \( x^2 + y^2 = 200 \).
Поскольку прямая должна касаться окружности, расстояние от центра окружности до этой прямой должно быть равно радиусу окружности.
Расстояние от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0 \) по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]
Подставляем коэффициенты \( A = 1 \), \( B = 1 \), \( C = c \) и координаты центра окружности \( (0, 0) \):
\[ d = \frac{|0 + 0 + c|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|c|}{\sqrt{2}} \]Должно быть \( \frac{|c|}{\sqrt{2}} = 10\sqrt{2} \) (так как радиус окружности \( r = 10\sqrt{2} \)).
Изучая это уравнение, видно, что нужно \( |c| = 10\sqrt{2} \) для того, чтобы прямая и окружность имели одну общую точку.
Таким образом, значение коэффициента \( c \) равно \( \pm 10\sqrt{2} \), чтобы прямая \( x + y + c = 0 \) касалась окружности \( x^2 + y^2 = 200 \).
