Хорда AB окружности перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам (рис. 36). Найдите угол OAB.

Для начала, обозначим точки на рисунке: - \( A \) и \( B \) - концы хорды \( AB \); - \( O \) - центр окружности; - \( C \) - точка пересечения хорды \( AB \) с радиусом \( OC \); - \( \angle OAB \) - искомый угол. Так как хорда \( AB \) перпендикулярна радиусу \( OC \) и делит его пополам, то \( AC = CB = OC \) (по условию).  Также, из свойств окружности, если хорда делит радиус пополам, то угол между радиусом и хордой является прямым углом. То есть \( \angle ACB = 90^\circ \). Теперь рассмотрим треугольник \( OAC \). На основе свойства равных сторон в равнобедренном треугольнике получаем, что \( \angle OCA = \angle OAC \) (по теореме о равных углах при основании равнобедренного треугольника). Также, \( \angle OCA = \angle ACB = 90^\circ \) по условию. Таким образом, угол \( OAC \) равен 90 градусов. Тогда \( \angle OAB = \angle OAC / 2 = 90^\circ / 2 = 45^\circ \). Итак, угол \( OAB \) равен 45 градусов.