1. Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°, а меньшая сторона 4 см. Найдите диагональ прямоугольника. Б) 10 см: B) 8 см: Г) 12 см. A) 2 см. 2. Гипотенуза равнобедренного…

Задача 1:

Дано: Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°. Меньшая сторона прямоугольника равна 4 см.

Чтобы найти диагональ прямоугольника, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника с углом 60° и сторонами 4 см (меньшая сторона), диагоналями искомой длины.

Пусть диагонали прямоугольника равны a и b. Тогда: \[a^2 = 4^2 + b^2 - 2 * 4 * b * \cos{60°}\]

Так как \(\cos{60°} = \frac{1}{2}\), можем переписать уравнение как: \[a^2 = 4^2 + b^2 - 4b\]

Учитывая, что прямоугольник, диагонали которого пересекаются под углом 60°, является ромбом, где диагонали равны, то \(a = b\): \[b^2 = 4^2 + b^2 - 4b\] \[b^2 - b^2 + 4b - 16 = 0\] \[4b - 16 = 0\] \[4b = 16\] \[b = 4\]

Таким образом, искомая диагональ прямоугольника равна 4 см.

Ответ: A) 4 см

Задача 2:

Дано: Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна c.

Площадь треугольника равна \(S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b\), где a и b - катеты треугольника.

Так как треугольник равнобедренный, катеты равны, и угол между гипотенузой и катетами равен 45°. Поэтому, катеты равны \(\frac{c}{\sqrt{2}}\).

Площадь можно найти как: \[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}\] \[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2}\] \[S = \frac{c^2}{4}\]

Таким образом, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна \(\frac{c^2}{4}\).

Ответ: A) \(\frac{c^2}{4}\)

Задача 3:

Для нахождения расстояния от точки \(A(1, 2, 3)\) до начала координат \((0, 0, 0)\) используем формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}\]

Где \(x_1 = 1\), \(y_1 = 2\), \(z_1 = 3\) и \(x_2 = 0\), \(y_2 = 0\), \(z_2 = 0\).

Подставляем значения:

\[d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2}\] \[d = \sqrt{1 + 4 + 9}\] \[d = \sqrt{14}\]

Таким образом, расстояние от точки \(A(1, 2, 3)\) до начала координат равно \(\sqrt{14}\).

Ответ: Г) \(\sqrt{14}\)

Задача 4:

Дано: Сторона ромба на основании призмы равна \(b\) см. Высота призмы равна 12 см.

Боковая поверхность призмы вычисляется как произведение периметра основания и высоты призмы. Для ромба периметр равен 4 * сторона.

Поэтому боковая поверхность призмы равна: \[4b * 12 = 48b\]

Подставляем значение \(b\): \[48 * 4 = 192\]

Таким образом, боковая поверхность призмы равна 192 см².

Ответ: Б) 192 см²