Задача 1:
Дано:
Угол между диагоналями прямоугольника равен 60°.
Меньшая сторона прямоугольника равна 4 см.
Чтобы найти диагональ прямоугольника, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника с углом 60° и сторонами 4 см (меньшая сторона), диагоналями искомой длины.
Пусть диагонали прямоугольника равны a и b. Тогда:
[a^2 = 4^2 + b^2 - 2 * 4 * b * \cos{60°}]
Так как (\cos{60°} = \frac{1}{2}), можем переписать уравнение как:
[a^2 = 4^2 + b^2 - 4b]
Учитывая, что прямоугольник, диагонали которого пересекаются под углом 60°, является ромбом, где диагонали равны, то (a = b):
[b^2 = 4^2 + b^2 - 4b]
[b^2 - b^2 + 4b - 16 = 0]
[4b - 16 = 0]
[4b = 16]
[b = 4]
Таким образом, искомая диагональ прямоугольника равна 4 см.
Ответ: A) 4 см
Задача 2:
Дано:
Гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника равна c.
Площадь треугольника равна (S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b), где a и b - катеты треугольника.
Так как треугольник равнобедренный, катеты равны, и угол между гипотенузой и катетами равен 45°.
Поэтому, катеты равны (\frac{c}{\sqrt{2}}).
Площадь можно найти как:
[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}} \cdot \frac{c}{\sqrt{2}}]
[S = \frac{1}{2} \cdot \frac{c^2}{2}]
[S = \frac{c^2}{4}]
Таким образом, площадь равнобедренного прямоугольного треугольника равна (\frac{c^2}{4}).
Ответ: A) (\frac{c^2}{4})
Задача 3:
Для нахождения расстояния от точки (A(1, 2, 3)) до начала координат ((0, 0, 0)) используем формулу для расстояния между двумя точками в пространстве:
[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}]
Где (x_1 = 1), (y_1 = 2), (z_1 = 3) и (x_2 = 0), (y_2 = 0), (z_2 = 0).
Подставляем значения:
[d = \sqrt{(0 - 1)^2 + (0 - 2)^2 + (0 - 3)^2}]
[d = \sqrt{1 + 4 + 9}]
[d = \sqrt{14}]
Таким образом, расстояние от точки (A(1, 2, 3)) до начала координат равно (\sqrt{14}).
Ответ: Г) (\sqrt{14})
Задача 4:
Дано:
Сторона ромба на основании призмы равна (b) см.
Высота призмы равна 12 см.
Боковая поверхность призмы вычисляется как произведение периметра основания и высоты призмы. Для ромба периметр равен 4 * сторона.
Поэтому боковая поверхность призмы равна:
[4b * 12 = 48b]
Подставляем значение (b):
[48 * 4 = 192]
Таким образом, боковая поверхность призмы равна 192 см².
Ответ: Б) 192 см²
