Решить задачу с рисунком: Через точку А, лежащую на сфере диаметром 24 см, к сфере проведена касательная плоскость. В этой плоскости выбрана точка В. Найдите длину отрезка АВ, если наибольшее расстояние от точки В до точки сферы равно 25 см.

Для решения задачи важно понять структуру ситуации и использовать свойства касательной плоскости, а также свойства сферы и расстояний. Обозначим все необходимые параметры и проведем поэтапное решение. **Дано:** - Диаметр сферы \( 24 \text{ см} \), значит радиус: \[ R = \frac{24}{2} = 12 \text{ см} \] - Через точку \(A\), лежащую на сфере, проведена касательная плоскость. - В этой плоскости выбрана точка \( B \). - Обозначим: \[ \text{Расстояние между точками } A \text{ и } B: AB \quad (\text{то, что нужно найти}) \] - Наибольшее расстояние от точки \( B \) до точки сферы равно 25 см. --- ### Шаг 1: Разбор геометрической ситуации - Точка \(A\) лежит на сфере, значит расстояние от \(A\) до центра сферы \(O\): \[ AO = R = 12 \text{ см} \] - Плоскость, проведенная через точку \(A\), является касательной к сфере. Тогда: \[ \text{Плоскость касается сферы в точке } A \] - Центр сферы \( O \) лежит в этой плоскости по условию (касательная плоскость в точке \(A\), где \(A\) лежит на сфере). ### Шаг 2: Свойства касательной плоскости и расположения точки \(B\) - Точка \( B \) лежит в касательной плоскости, в которой выбрана точка. - Дано, что максимальное расстояние от \( B \) до точки сферы равно 25 см. **Обратите внимание:** Расстояние от точки \( B \) до точки сферы — это длина минимального и максимального расстояния от \( B \) до любой точки, лежащей на сфере. Поскольку \( B \) и сфера лежат в одной плоскости (или, точнее, мы знаем, что \( B \) — в касательной плоскости), рассуждаем так: - Минимальное расстояние от \( B \) до сферы — это расстояние от \( B \) до точки на сфере, ближайшей к \( B \). - Максимальное расстояние — это расстояние от \( B \) до той точки сферы, которая находится максимально далеко от \( B \). Чтобы повысить точность, введем обозначения. --- ### Шаг 3: Связь между точками \(A\), \( B \), \( O \) и расстояниями - точка \(A\) — на сфере, соотношение: \[ OA = 12 \text{ см} \] - Центр сферы \( O \), точка \(A\) и касательная плоскость лежат в одной плоскости. - Пусть \( M \) — точка касания плоскости сферы (она совпадает с точкой \( A \)). Значит: - Плоскость проходит через точку \(A\). - В ней выбрана точка \( B \). --- ### Шаг 4: Любая точка \( B \) в касательной плоскости Рассмотрим: - Расстояние от \( B \) до центра \( O \): Обозначим \( B \) как произвольную точку в касательной плоскости. - Максимальное расстояние от \( B \) до сферы равно 25 см. - Расстояние от \( B \) до точки \(\text{на сфере}\), максимально удаленной, — это расстояние от \( B \) до протяженного края сферы. Поскольку сфера радиусом \( R = 12 \text{ см} \), и точка \( B \) находится в касательной плоскости, то: - Расстояние от \( B \) до центра \( O \), \( OB \), и расстояние от \( B \) до любой точки сферы зависит как от \( OB \), так и от радиуса. --- ### Шаг 5: Максимальное расстояние \(B\) до точки сферы и его связь с \(OB\) Если \( B \) находится в касательной плоскости через точку \( A \): - Самое длинное расстояние от \( B \) до сферы достигается при выборе точки сферы, которая расположена дальше всего от \( B \) в этой плоскости. - Наибольшее расстояние от точки \( B \) до точки сферы — это расстояние от \( B \) до самой дальней точки на сфере, которая расположена на линии через \( B \) и центр сферы, и на расстоянии \( R = 12 \text{ см} \). Рассмотрим: \[ \text{максимальное расстояние} = OB + R \] Из условия: \[ OB + R = 25 \] Следовательно: \[ OB = 25 - 12 = 13 \text{ см} \] --- ### Шаг 6: В каком месте находится \( B \) Пока неизвестно точное расположение, но знаем: - \( B \) находится в касательной плоскости через \(A\). - Расстояние от \(O\) до \(B\): \( OB = 13 \text{ см} \). Обозначим: - Точка \(A\) лежит на сфере, \( AO = 12 \text{ см} \). - Т.к. касательная плоскость касается сферы в точке \( A \), то \(A\) — точка касания. Поскольку \(A\) — точка касания, \(A\) и \(B\) лежат в касательной плоскости, проходящей через \(A\), а \(AO\) — перпендикуляр к касательной плоскости. --- ### Шаг 7: Вычисление \( AB \) Рассмотрим треугольник \(AOB\): - \(AO = 12\) см - \(BO = 13\) см - Расстояние \(AB\) — сторона треугольника \(AOB\). Так как \(AO \perp\) касательной плоскости и \(B\) — в этой плоскости, тогда \(A\) и \(B\) лежат в одной плоскости, и треугольник \(AOB\) решается по теореме косинусов. --- ### Шаг 8: Координатный метод для определения \(AB\) Обозначим: - точки: \[ A = (0, 0, 0) \quad \text{(так как \(A\) — точка касания, центр сферы в точке \(O\) подразумевается в её координатах)} \] - \( O = (0, 0, 12) \), так как \(A\) — на сфере, а \(AO\) — радиус, а \(A\) — в плоскости касания. - \( B \) располагается в плоскости, которая касается сферы в \(A\), и находится на расстоянии 13 см от \(O\). Рассмотрим: - \(B\) в касательной плоскости, которая проходит через \(A\). - Тогда \(B\) находится в плоскости, проходящей через \(A = (0,0,0)\), и разузнать её координаты. Пусть \( B = (x, y, 0) \): - \(OB=13\): \[ \sqrt{x^{2} + y^{2} + (0 - 12)^{2}} = 13 \] \[ x^{2} + y^{2} + 144 = 169 \] \[ x^{2} + y^{2} = 25 \] - Расстояние \(AB\): \[ AB = \sqrt{(x-0)^{2} + (y-0)^{2} + (0 - 0)^{2}} = \sqrt{x^{2} + y^{2}} = \sqrt{25} = 5 \] --- ### Ответ: \[ \boxed{AB = 5 \text{ см}} \] --- ### Итог: **Длина отрезка \(AB\) равна 5 см.** Если нужен более развернутый комментарий или графическая иллюстрация — обращайтесь!