Выбери дерево, в котором 13 13 вершин, причём степень 2 2 имеют ровно 3 3 вершины.

Давайте разберём задачу пошагово.

Задача:
Выбрать дерево с 13 вершинами, в котором вершины степени 2 ровно 3.

Объяснения и шаги:

1. Общие свойства дерева:

   • В дереве с \( n \) вершинами число рёбер равно \( n - 1 \).
     Здесь: \( n = 13 \) → число рёбер = 12.

2. Степень вершины:

   • Степень вершины — это число рёбер, исходящих из неё.
   • В задаче: ровно 3 вершины имеют степень 2.
   • Остальные вершины имеют степень, отличную от 2.

3. Что нужно найти?
   — Общее описание дерева, в котором:

   • Всего 13 вершин.
   • 3 вершины со степенью 2.

4. Обозначим:

   • Количество вершин со степенью 2: \( m = 3 \).
   • Их сумма степеней: \( 3 \times 2 = 6 \).

   Остальные \( 13 - 3 = 10 \) вершин имеют степени, которых мы еще не знаем.

5. Общая сумма степеней:

   • В сумме все вершины дают сумму степеней равную \( 2 \times \text{число рёбер} = 2 \times 12 = 24 \).

6. Обозначим:

   • Пусть оставшиеся \( 10 \) вершин имеют степени \( d_1, d_2, \ldots, d_{10} \).
   • Тогда: \[ 6 + \sum_{i=1}^{10} d_i = 24 \] – Отсюда: \[ \sum_{i=1}^{10} d_i = 24 - 6 = 18 \]

7. Ограничения:

   • Вершина не может иметь степень больше \( n - 1 = 12 \).
   • Степень вершины неотрицательна, минимум 1 (в случае стержня или листа, но так как в дереве есть листы, то минимальная степень может быть 1).
   • Вершина со степенью 1 — лист.

8. Рассмотрим возможные степени:

   • Минимум для вершины — 1.
   • Максимум — 12.

   Мы знаем, что сумма степеней десяти вершин — 18.

9. Рассмотрим пример:

   • Пусть все оставшиеся вершины имеют минимум 1, тогда сумма — 10, а нужно 18.
   • Значит, 10 вершин должны иметь сумму 18, распределённую так, чтобы сумма степеней была равна 18.

10. Построение варианта:

    • Пусть:
      • 4 вершины имеют степень 2: сумма 8.
      • Остальные 6 вершины — со степенями по 2 или большей.

    Однако, чтобы обеспечить сумму 18, давайте попробовать такие значения:

    Например:

    • 6 вершин со степенями 2 (сумма 12),
    • Тогда остальные 4 вершины — со степенями, сумма которых должна равняться 6.

    Пусть эти 4 вершины имеют степени:

    • 1, 1, 1, 3 (сумма 6), — допускается, потому что:
      • Вершина со степенью 3 существует и это допустимый уровень.

    В итоге, степенные значения для этих 10 вершин — 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3. — Их сумма: \( 6 \times 2 + 1 + 1 + 1 + 3 = 12 + 6 = 18 \).

Вывод:

• В дереве 13 вершин, из которых:

  • 3 вершины со степенью 2,
  • Остальные 10 вершин имеют степени, распределённые как 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3.

• Такое дерево существует при соответствующем соединении вершин.

Ответ:
Выберите дерево с 13 вершинами, в котором ровно 3 вершины имеют степень 2, а остальные вершины имеют степени, удовлетворяющие условию: сумма степеней — 18. Пример такого дерева — с 6 вершинами степенью 2, 3 вершинами степенью 1 и одной вершиной степенью 3, соединёнными так, чтобы удовлетворять структуре дерева.

Если есть необходимость — могу помочь с более конкретными конструктивными схемами или доказательствами существования.