Выбери дерево, в котором  13 13 вершин, причём степень  2 2 имеют ровно  3 3 вершины.

Давайте разберём задачу пошагово. **Задача:** Выбрать дерево с 13 вершинами, в котором вершины степени 2 ровно 3. **Объяснения и шаги:** 1. **Общие свойства дерева:** - В дереве с \( n \) вершинами число рёбер равно \( n - 1 \). Здесь: \( n = 13 \) → число рёбер = 12. 2. **Степень вершины:** - Степень вершины — это число рёбер, исходящих из неё. - В задаче: ровно 3 вершины имеют степень 2. - Остальные вершины имеют степень, отличную от 2. 3. **Что нужно найти?** — Общее описание дерева, в котором: - Всего 13 вершин. - 3 вершины со степенью 2. 4. **Обозначим:** - Количество вершин со степенью 2: \( m = 3 \). - Их сумма степеней: \( 3 \times 2 = 6 \). Остальные \( 13 - 3 = 10 \) вершин имеют степени, которых мы еще не знаем. 5. **Общая сумма степеней:** - В сумме все вершины дают сумму степеней равную \( 2 \times \text{число рёбер} = 2 \times 12 = 24 \). 6. **Обозначим:** - Пусть оставшиеся \( 10 \) вершин имеют степени \( d_1, d_2, \ldots, d_{10} \). - Тогда: \[ 6 + \sum_{i=1}^{10} d_i = 24 \] – Отсюда: \[ \sum_{i=1}^{10} d_i = 24 - 6 = 18 \] 7. **Ограничения:** - Вершина не может иметь степень больше \( n - 1 = 12 \). - Степень вершины неотрицательна, минимум 1 (в случае стержня или листа, но так как в дереве есть листы, то минимальная степень может быть 1). - Вершина со степенью 1 — лист. 8. **Рассмотрим возможные степени:** - Минимум для вершины — 1. - Максимум — 12. Мы знаем, что сумма степеней десяти вершин — 18. 9. **Рассмотрим пример:** - Пусть все оставшиеся вершины имеют минимум 1, тогда сумма — 10, а нужно 18. - Значит, 10 вершин должны иметь сумму 18, распределённую так, чтобы сумма степеней была равна 18. 10. **Построение варианта:** - Пусть: - 4 вершины имеют степень 2: сумма 8. - Остальные 6 вершины — со степенями по 2 или большей. Однако, чтобы обеспечить сумму 18, давайте попробовать такие значения: Например: - 6 вершин со степенями 2 (сумма 12), - Тогда остальные 4 вершины — со степенями, сумма которых должна равняться 6. Пусть эти 4 вершины имеют степени: - 1, 1, 1, 3 (сумма 6), — допускается, потому что: - Вершина со степенью 3 существует и это допустимый уровень. В итоге, степенные значения для этих 10 вершин — 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3. — Их сумма: \( 6 \times 2 + 1 + 1 + 1 + 3 = 12 + 6 = 18 \). **Вывод:** - В дереве 13 вершин, из которых: - 3 вершины со степенью 2, - Остальные 10 вершин имеют степени, распределённые как 2, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 1, 1, 3. - Такое дерево существует при соответствующем соединении вершин. **Ответ:** Выберите дерево с 13 вершинами, в котором ровно 3 вершины имеют степень 2, а остальные вершины имеют степени, удовлетворяющие условию: сумма степеней — 18. Пример такого дерева — с 6 вершинами степенью 2, 3 вершинами степенью 1 и одной вершиной степенью 3, соединёнными так, чтобы удовлетворять структуре дерева. Если есть необходимость — могу помочь с более конкретными конструктивными схемами или доказательствами существования.