Материальная точка движется прямолинейно по закону x(t)=13t3−72t2−3t+5, где x — расстояние от точки отсчёта в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой…

Рассмотрим задачу: мате­ри­аль­ная точка движется по закону \( x(t) = 13t^3 - 72t^2 - 3t + 5 \), где \( x \) — расстояние (м), а \( t \) — время (с).

Нам нужно найти момент времени \( t \), когда скорость \( v(t) \) равна 5 м/с.

Шаг 1: Найти выражение для скорости \( v(t) \)

Согласно кинематике, скорость есть производная положения \( x(t) \) по времени: \[ v(t) = \frac{dx}{dt} \]

Вычислим производную: \[ v(t) = \frac{d}{dt} (13t^3 - 72t^2 - 3t + 5) \] \[ v(t) = 3 \times 13 t^2 - 2 \times 72 t - 3 \] \[ v(t) = 39 t^2 - 144 t - 3 \]

Шаг 2: Решить уравнение \( v(t) = 5 \)

Нам нужно найти \( t \), при котором скорость равна 5: \[ 39 t^2 - 144 t - 3 = 5 \]

Перенесем 5 в левую сторону: \[ 39 t^2 - 144 t - 3 - 5 = 0 \] \[ 39 t^2 - 144 t - 8 = 0 \]

Это квадратное уравнение. Решим его по формуле: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \( a = 39 \), \( b = -144 \), \( c = -8 \).

Шаг 3: Вычисление дискриминанта

\[ D = b^2 - 4ac = (-144)^2 - 4 \times 39 \times (-8) \]

Посчитаем: \[ (-144)^2 = 20736 \] \[ 4 \times 39 \times (-8) = 4 \times 39 \times (-8) = 4 \times (-312) = -1248 \]

Но так как \( c \) отрицательное, в формуле получается: \[ D = 20736 - (-1248) = 20736 + 1248 = 21984 \]

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь найдём корни: \[ t = \frac{144 \pm \sqrt{21984}}{2 \times 39} \]

Найдем \(\sqrt{21984}\):

Приблизительно: \[ \sqrt{21984} \approx 148.28 \]

Подставляем: \[ t = \frac{144 \pm 148.28}{78} \]

Первый корень: \[ t_1 = \frac{144 + 148.28}{78} = \frac{292.28}{78} \approx 3.746 \]

Второй корень: \[ t_2 = \frac{144 - 148.28}{78} = \frac{-4.28}{78} \approx -0.055 \]

Шаг 5: интерпретация

Время не может быть отрицательным в контексте задачи (начало отсчёта — \( t=0 \)), поэтому отрицательный корень отвергается.

Ответ:

\[ \boxed{ t \approx 3.75 \text{ секунд} } \]

Это момент времени, когда скорость точки равна 5 м/с.