Рассмотрим задачу: материальная точка движется по закону ( x(t) = 13t^3 - 72t^2 - 3t + 5 ), где ( x ) — расстояние (м), а ( t ) — время (с).
Нам нужно найти момент времени ( t ), когда скорость ( v(t) ) равна 5 м/с.
Шаг 1: Найти выражение для скорости ( v(t) )
Согласно кинематике, скорость есть производная положения ( x(t) ) по времени:
[
v(t) = \frac{dx}{dt}
]
Вычислим производную:
[
v(t) = \frac{d}{dt} (13t^3 - 72t^2 - 3t + 5)
]
[
v(t) = 3 \times 13 t^2 - 2 \times 72 t - 3
]
[
v(t) = 39 t^2 - 144 t - 3
]
Шаг 2: Решить уравнение ( v(t) = 5 )
Нам нужно найти ( t ), при котором скорость равна 5:
[
39 t^2 - 144 t - 3 = 5
]
Перенесем 5 в левую сторону:
[
39 t^2 - 144 t - 3 - 5 = 0
]
[
39 t^2 - 144 t - 8 = 0
]
Это квадратное уравнение. Решим его по формуле:
[
t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
где ( a = 39 ), ( b = -144 ), ( c = -8 ).
Шаг 3: Вычисление дискриминанта
[
D = b^2 - 4ac = (-144)^2 - 4 \times 39 \times (-8)
]
Посчитаем:
[
(-144)^2 = 20736
]
[
4 \times 39 \times (-8) = 4 \times 39 \times (-8) = 4 \times (-312) = -1248
]
Но так как ( c ) отрицательное, в формуле получается:
[
D = 20736 - (-1248) = 20736 + 1248 = 21984
]
Шаг 4: Решение уравнения
Теперь найдём корни:
[
t = \frac{144 \pm \sqrt{21984}}{2 \times 39}
]
Найдем (\sqrt{21984}):
Приблизительно:
[
\sqrt{21984} \approx 148.28
]
Подставляем:
[
t = \frac{144 \pm 148.28}{78}
]
Первый корень:
[
t_1 = \frac{144 + 148.28}{78} = \frac{292.28}{78} \approx 3.746
]
Второй корень:
[
t_2 = \frac{144 - 148.28}{78} = \frac{-4.28}{78} \approx -0.055
]
Шаг 5: интерпретация
Время не может быть отрицательным в контексте задачи (начало отсчёта — ( t=0 )), поэтому отрицательный корень отвергается.
Ответ:
[
\boxed{
t \approx 3.75 \text{ секунд}
}
]
Это момент времени, когда скорость точки равна 5 м/с.
