В треугольнике A B C ABC угол A A равен 3 0 ∘ 30 ∘ , угол B B равен 4 5 ∘ 45 ∘ , B C = 7 2 BC=7 2 . Найдите сторону A C A
Давайте разберемся с задачей по шагам. Итак, у нас есть треугольник ABC, и даны некоторые его углы и сторона. Обозначим все данные более четко:
- Угол \(A = 30^\circ\)
- Угол \(B = 45^\circ\)
- Сторона \(BC = 7\)
Нам нужно найти сторону \(AC\).
Шаг 1: Определение угла \(C\)
В треугольнике сумма всех углов равна \(180^\circ\). Значит:
\[ C = 180^\circ - A - B = 180^\circ - 30^\circ - 45^\circ = 105^\circ \]
Шаг 2: Использование стороны \(BC\)
Сторона \(BC\) противолежит углу \(A\). Однако обычно стороны обозначают так:
- \(a = BC\) — сторона, противолежащая углу \(A\)
- \(b = AC\) — сторона, противолежащая углу \(B\)
- \(c = AB\) — сторона, противолежащая углу \(C\)
У нас есть сторона \(BC = 7\), которая противолежит углу \(A = 30^\circ\). То есть:
\[ a = BC = 7 \]
Нам нужно найти \(AC = b\).
Шаг 3: Применение закона синусов
Закон синусов гласит:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Нас интересует отношение:
\[ \frac{b}{\sin B} = \frac{a}{\sin A} \]
Подставляем известные значения:
\[ \frac{b}{\sin 45^\circ} = \frac{7}{\sin 30^\circ} \]
Значения синусов:
- \(\sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\)
- \(\sin 30^\circ = \frac{1}{2}\)
Подставляем:
\[ \frac{b}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{7}{\frac{1}{2}} \]
Решаем для \(b\):
\[ b = \frac{\sqrt{2}}{2} \times \frac{7}{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 7 \times 2 \]
Упростим:
\[ b = \frac{\sqrt{2}}{2} \times 14 = \sqrt{2} \times 7 \]
Ответ:
\[ \boxed{ AC = 7\sqrt{2} } \]
Итог: сторона \(AC\) равна \(7\sqrt{2}\).
Если нужно еще подробнее или есть вопросы — скажите!
