Билет на школьное представление стоит целое число рублей. Группа пятиклассников потратила на свои билеты в общей сумме 48 рублей, а группа шестиклассников — 64 рубля. Сколько мог…
Билет на школьное представление стоит целое число рублей. Группа пятиклассников потратила на свои билеты в общей сумме 48 рублей, а группа шестиклассников — 64 рубля. Сколько мог стоить билет на представление? Укажите все возможные варианты?"
Давайте подробно разберём задачу и найдём все возможные варианты стоимости билета.
Дано:
- Стоимость билета — целое число рублей (обозначим её как \( x \))
- Группа пятиклассников — потратила всего 48 рублей
- Группа шестиклассников — потратила всего 64 рубля
Задача:
Найти все возможные значения \( x \), при которых существует целое количество пятиклассников и шестиклассников, потративших деньги на билеты.
Шаг 1: Запишем условия
Пусть:
- \( a \) — число пятиклассников,
- \( b \) — число шестиклассников.
Тогда: \[ a \times x = 48 \] \[ b \times x = 64 \]
Так как \( a \) и \( b \) — целые, а \( x \) — целое положительное число (цена билета), то:
\[ a = \frac{48}{x} \] \[ b = \frac{64}{x} \]
Чтобы \( a \) и \( b \) были целыми, \( x \) должно быть делителем обоих чисел — 48 и 64.
Шаг 2: Найдём делители 48 и 64
Нужно найти все целые положительные делители 48 и 64, их общие делители. Тогда:
\[ x \text{ делитель } 48 \quad \text{и} \quad x \text{ делитель } 64 \]
Общие делители — делители их наибольшего общего делителя (НОД).
Шаг 3: Найдём НОД(48, 64)
Факторизация:
\[ 48 = 2^4 \times 3 \] \[ 64 = 2^6 \]
Наибольший общий делитель — это степень двойки с минимальной экспонентой:
\[ \text{НОД} = 2^4 = 16 \]
Значит, все возможные значения \( x \) — делители числа 16.
Делители 16 — это:
\[ 1, 2, 4, 8, 16 \]
Шаг 4: Проверяем каждого делителя
Для каждого делителя найдём \( a \) и \( b \):
\( x = 1 \): \[ a = \frac{48}{1} = 48 \quad \text{и} \quad b = \frac{64}{1} = 64 \] — возможен, так как \( a, b \) — целые.
\( x = 2 \): \[ a = \frac{48}{2} = 24, \quad b = \frac{64}{2} = 32 \] — возможен.
\( x = 4 \): \[ a = \frac{48}{4} = 12, \quad b = \frac{64}{4} = 16 \] — возможен.
\( x = 8 \): \[ a = \frac{48}{8} = 6, \quad b = \frac{64}{8} = 8 \] — возможен.
\( x = 16 \): \[ a = \frac{48}{16} = 3, \quad b = \frac{64}{16} = 4 \] — возможен.
Ответ:
Все возможные стоимости билета — это делители 16:
\[ \boxed{ x = 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16 } \]
Если хотите, я могу помочь вам проверить эти решения или объяснить более подробно любой шаг!
