Давайте подробно разберём задачу и найдём все возможные варианты стоимости билета.
Дано:
- Стоимость билета — целое число рублей (обозначим её как ( x ))
- Группа пятиклассников — потратила всего 48 рублей
- Группа шестиклассников — потратила всего 64 рубля
Задача:
Найти все возможные значения ( x ), при которых существует целое количество пятиклассников и шестиклассников, потративших деньги на билеты.
Шаг 1: Запишем условия
Пусть:
- ( a ) — число пятиклассников,
- ( b ) — число шестиклассников.
Тогда:
[
a \times x = 48
]
[
b \times x = 64
]
Так как ( a ) и ( b ) — целые, а ( x ) — целое положительное число (цена билета), то:
[
a = \frac{48}{x}
]
[
b = \frac{64}{x}
]
Чтобы ( a ) и ( b ) были целыми, ( x ) должно быть делителем обоих чисел — 48 и 64.
Шаг 2: Найдём делители 48 и 64
Нужно найти все целые положительные делители 48 и 64, их общие делители. Тогда:
[
x \text{ делитель } 48 \quad \text{и} \quad x \text{ делитель } 64
]
Общие делители — делители их наибольшего общего делителя (НОД).
Шаг 3: Найдём НОД(48, 64)
Факторизация:
[
48 = 2^4 \times 3
]
[
64 = 2^6
]
Наибольший общий делитель — это степень двойки с минимальной экспонентой:
[
\text{НОД} = 2^4 = 16
]
Значит, все возможные значения ( x ) — делители числа 16.
Делители 16 — это:
[
1, 2, 4, 8, 16
]
Шаг 4: Проверяем каждого делителя
Для каждого делителя найдём ( a ) и ( b ):
( x = 1 ):
[
a = \frac{48}{1} = 48 \quad \text{и} \quad b = \frac{64}{1} = 64
]
— возможен, так как ( a, b ) — целые.
( x = 2 ):
[
a = \frac{48}{2} = 24, \quad b = \frac{64}{2} = 32
]
— возможен.
( x = 4 ):
[
a = \frac{48}{4} = 12, \quad b = \frac{64}{4} = 16
]
— возможен.
( x = 8 ):
[
a = \frac{48}{8} = 6, \quad b = \frac{64}{8} = 8
]
— возможен.
( x = 16 ):
[
a = \frac{48}{16} = 3, \quad b = \frac{64}{16} = 4
]
— возможен.
Ответ:
Все возможные стоимости билета — это делители 16:
[
\boxed{
x = 1,\ 2,\ 4,\ 8,\ 16
}
]
Если хотите, я могу помочь вам проверить эти решения или объяснить более подробно любой шаг!
