Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону:…

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

Дано:

• Закон изменения угла: \(\varphi = \Omega t + \frac{B t^2}{2}\)
• \(\Omega = 15^\circ/\text{мин}\) — начальная угловая скорость
• \(B = \frac{6}{\text{мин}^2}\) — угловое ускорение
• Максимальный угол: \(\varphi_{max} = 2250^\circ\)

Шаг 1. Запишем известную формулу

\[ \varphi(t) = \Omega t + \frac{B t^2}{2} \]

Нужно найти такое время \(t\), при котором \(\varphi(t) = 2250^\circ\).

Шаг 2. Подставим данные

\[ 2250 = 15 t + \frac{6}{2} t^2 \]

Обратите внимание, что \(\frac{6}{2} = 3\), значит:

\[ 2250 = 15 t + 3 t^2 \]

Шаг 3. Перепишем полученное уравнение

\[ 3 t^2 + 15 t - 2250 = 0 \]

Поделим всё уравнение на 3 для упрощения:

\[ t^2 + 5 t - 750 = 0 \]

Это квадратичное уравнение.

Шаг 4. Решим квадратичное уравнение

Используем формулу:

\[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \(a=1\), \(b=5\), \(c=-750\).

Подставляем:

\[ t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750)}}{2} \]

Вычислим дискриминант:

\[ D = 25 + 3000 = 3025 \]

найдём его квадратный корень:

\[ \sqrt{3025} = 55 \]

Теперь решим уравнение:

\[ t = \frac{-5 \pm 55}{2} \]

Два решения:

1. \(\displaystyle t = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25\)
2. \(\displaystyle t = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30\)

Поскольку время не может быть отрицательным, отбрасываем решение \(-30\).

Ответ:

Рабочий должен проверить работу лебёдки не позже чем через 25 минут.