Для сматывания кабеля на заводе используют лебёдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону: ϕ=Ωt+Bt^2/2, где t - время в минутах, Ω=15°/мин - начальная угловая скорость вращения катушки, а B=6/мин^2 - угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки ф достигнет 2250°. Определите время (в минутах) после начала работы лебедки, не позже которого рабочий должен проконтролировать ее работу.

Давайте разберем задачу шаг за шагом. **Дано:** - Закон изменения угла: \(\varphi = \Omega t + \frac{B t^2}{2}\) - \(\Omega = 15^\circ/\text{мин}\) — начальная угловая скорость - \(B = \frac{6}{\text{мин}^2}\) — угловое ускорение - Максимальный угол: \(\varphi_{max} = 2250^\circ\) --- ### Шаг 1. Запишем известную формулу \[ \varphi(t) = \Omega t + \frac{B t^2}{2} \] Нужно найти такое время \(t\), при котором \(\varphi(t) = 2250^\circ\). --- ### Шаг 2. Подставим данные \[ 2250 = 15 t + \frac{6}{2} t^2 \] Обратите внимание, что \(\frac{6}{2} = 3\), значит: \[ 2250 = 15 t + 3 t^2 \] --- ### Шаг 3. Перепишем полученное уравнение \[ 3 t^2 + 15 t - 2250 = 0 \] Поделим всё уравнение на 3 для упрощения: \[ t^2 + 5 t - 750 = 0 \] Это квадратичное уравнение. --- ### Шаг 4. Решим квадратичное уравнение Используем формулу: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=5\), \(c=-750\). Подставляем: \[ t = \frac{-5 \pm \sqrt{5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-750)}}{2} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 25 + 3000 = 3025 \] найдём его квадратный корень: \[ \sqrt{3025} = 55 \] Теперь решим уравнение: \[ t = \frac{-5 \pm 55}{2} \] Два решения: 1. \(\displaystyle t = \frac{-5 + 55}{2} = \frac{50}{2} = 25\) 2. \(\displaystyle t = \frac{-5 - 55}{2} = \frac{-60}{2} = -30\) Поскольку время не может быть отрицательным, отбрасываем решение \(-30\). --- ### **Ответ:** **Рабочий должен проверить работу лебёдки не позже чем через 25 минут.**