Реши задачу на фото

Давайте решим задачу шаг за шагом. Дано: \[ A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 4 & x \end{bmatrix} \] \[ B = \begin{bmatrix} 5 & -2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \] необходимо найти значение выражения: \[ \det(5A^{-1} B^T) = 5 \] --- ### 1. Свойства determinants Поскольку в выражении есть множитель 5, нужно помнить, что: - **Determinant произведения матриц** равен произведению их determinants: \[ \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \] - **Determinant обратной матрицы**: \[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} \] - Умножение матрицы на скаляр \( c \) в \( n \times n \) матрице изменяет determinant следующим образом: \[ \det(cA) = c^n \det(A) \] В нашем случае матрица 2x2, поэтому: \[ \det(cA) = c^2 \det(A) \] --- ### 2. Перепишем выражение \[ \det(5A^{-1} B^T) = \det(5A^{-1} \cdot B^T) \] Используя свойства determinants: \[ \det(5A^{-1} B^T) = \det(5A^{-1}) \cdot \det(B^T) \] а \[ \det(5A^{-1}) = 5^2 \det(A^{-1}) = 25 \det(A^{-1}) \] и \[ \det(B^T) = \det(B) \] Итак: \[ \det(5A^{-1} B^T) = 25 \det(A^{-1}) \det(B) \] По условию: \[ \det(5A^{-1} B^T) = 5 \] Подставляя: \[ 25 \det(A^{-1}) \det(B) = 5 \] --- ### 3. Выразим \(\det(A)\) и \(\det(B)\) #### Находим \(\det(B)\): \[ \det(B) = (5)(4) - (-2)(3) = 20 + 6 = 26 \] #### Находим \(\det(A)\): \[ \det(A) = (3)(x) - (6)(4) = 3x - 24 \] Поскольку \[ \det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)} = \frac{1}{3x - 24} \] Подставляем в уравнение: \[ 25 \cdot \frac{1}{3x - 24} \cdot 26 = 5 \] --- ### 4. Решаем уравнение для \(x\): \[ 25 \cdot 26 \div (3x - 24) = 5 \] \[ 650 \div (3x - 24) = 5 \] Умножим обе стороны на \(3x - 24\): \[ 650 = 5 \times (3x - 24) \] Раскроем скобки: \[ 650 = 15x - 120 \] Добавим 120 к обеим частям: \[ 650 + 120 = 15x \] \[ 770 = 15x \] Наконец, решим для \(x\): \[ x = \frac{770}{15} = \frac{154}{3} \approx 51.33 \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = \frac{154}{3} } \] Если есть дополнительные вопросы или потребуется уточнение — скажите!