854. Решите неравенство: a) (3 + x)/4 + (2 - x)/3 < 0 r) x - (x - 3)/5 + (2x - 1)/10 <= 4 6) (4 - y)/5 - 5y >= 0 д) (y - 1)/2 - 1 + (2y - 1)/6 > y в) y - (2y - 1)/4 >= 1 e) p - (p…
854. Решите неравенство: a) (3 + x)/4 + (2 - x)/3 < 0 r) x - (x - 3)/5 + (2x - 1)/10 <= 4 6) (4 - y)/5 - 5y >= 0 д) (y - 1)/2 - 1 + (2y - 1)/6 > y в) y - (2y - 1)/4 >= 1 e) p - (p - 1)/2 - (p + 3)/4 > 2
Рассмотрим каждое неравенство по очереди. Я объясню пошагово, как решать каждое из них, чтобы понять, как найти все значения переменной, при которых неравенство выполняется.
Решение для задачи a)
\(\frac{3 + x}{4} + \frac{2 - x}{3} < 0\)
Шаг 1: Найти общий знаменатель
Общий знаменатель у дробей — 12 (наименьшее общее кратное 4 и 3).
Перепишем каждую дробь с этим знаменателем:
\[ \frac{3 + x}{4} = \frac{(3 + x)\times 3}{12} = \frac{3(3 + x)}{12} \]
\[ \frac{2 - x}{3} = \frac{(2 - x)\times 4}{12} = \frac{4(2 - x)}{12} \]
Шаг 2: Записать неравенство с общим знаменателем
\[ \frac{3(3 + x) + 4(2 - x)}{12} < 0 \]
Т.к. деление на 12 положительно, не меняет знак неравенства:
\[ 3(3 + x) + 4(2 - x) < 0 \]
Шаг 3: Раскрыть скобки
\[ 9 + 3x + 8 - 4x < 0 \]
Объединим подобные:
\[ (9 + 8) + (3x - 4x) < 0 \]
\[ 17 - x < 0 \]
Шаг 4: Решение неравенства
\[ - x < -17 \]
Умножая обе части на -1 (и меняя знак неравенства):
\[ x > 17 \]
Ответ для a):
\[ \boxed{ x > 17 } \]
Решение для задачи r)
\(x - \frac{x - 3}{5} + \frac{2x - 1}{10} \leq 4\)
Шаг 1: Найти общий знаменатель
Наименьшее общее кратное 5 и 10 — 10.
Перепишем дроби:
\[ \frac{x - 3}{5} = \frac{2(x - 3)}{10} \]
\[ \frac{2x - 1}{10} \text{ уже с знаменателем 10} \]
Шаг 2: Записать левую часть с общим знаменателем
\[ x - \frac{2(x - 3)}{10} + \frac{2x - 1}{10} \leq 4 \]
Объединим дроби:
\[ x - \frac{2x - 6}{10} + \frac{2x - 1}{10} \leq 4 \]
Объединим дроби в числителе:
\[ x - \frac{2x - 6 + 2x - 1}{10} \leq 4 \]
\[ x - \frac{4x - 7}{10} \leq 4 \]
Шаг 3: Представим x как дробь
Чтобы упростить, запишем \(x = \frac{10x}{10}\):
\[ \frac{10x}{10} - \frac{4x - 7}{10} \leq 4 \]
Объединяем в одну дробь:
\[ \frac{10x - (4x - 7)}{10} \leq 4 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ \frac{10x - 4x + 7}{10} \leq 4 \]
\[ \frac{6x + 7}{10} \leq 4 \]
Шаг 4: Решим неравенство
Умножим обе части на 10 (делает знак неравенства не изменится, т.к. 10 > 0):
\[ 6x + 7 \leq 40 \]
Вычитаем 7:
\[ 6x \leq 33 \]
Делим на 6:
\[ x \leq \frac{33}{6} = \frac{11}{2} = 5.5 \]
Ответ для r):
\[ \boxed{ x \leq \frac{11}{2} } \]
Решение для задачи 6)
\(\frac{4 - y}{5} - 5y \geq 0\)
Шаг 1: Упростить неравенство
Перенесем -5y в дробь:
\[ \frac{4 - y}{5} - 5y \geq 0 \]
Запишем \(5y = \frac{25y}{5}\):
\[ \frac{4 - y}{5} - \frac{25y}{5} \geq 0 \]
Объединим в одну дробь:
\[ \frac{4 - y - 25y}{5} \geq 0 \]
Переходим к числителю:
\[ \frac{4 - 26y}{5} \geq 0 \]
Шаг 2: Условие на дробь
Так как делитель 5 — положительный число, то знак неравенства зависит только от числителя:
\[ 4 - 26y \geq 0 \]
Решим относительно y:
\[ -26 y \geq -4 \]
Делим обе части на -26, меняя знак неравенства:
\[ y \leq \frac{-4}{-26} = \frac{4}{26} = \frac{2}{13} \]
Ответ:
\[ \boxed{ y \leq \frac{2}{13} } \]
Решение для задачи д)
\(\frac{y - 1}{2} - 1 + \frac{2 y - 1}{6} > y\)
Шаг 1: Общий знаменатель
Общий знаменатель — 6.
Перепишем дроби:
\[ \frac{y - 1}{2} = \frac{3(y - 1)}{6} \] \[ \frac{2 y - 1}{6} \text{ — уже с этим знаменателем} \]
Заменим -1 на \(\frac{-6}{6}\):
\[ -1 = \frac{-6}{6} \]
Шаг 2: Записать неравенство с общим знаменателем
\[ \frac{3(y - 1)}{6} - \frac{6}{6} + \frac{2 y - 1}{6} > y \]
Объединим числитель левой части:
\[ \frac{3(y - 1) - 6 + 2 y - 1}{6} > y \]
Раскроем скобки:
\[ \frac{3 y - 3 - 6 + 2 y - 1}{6} > y \]
Объединим подобные:
\[ \frac{(3 y + 2 y) + (-3 - 6 -1)}{6} > y \]
\[ \frac{5 y - 10}{6} > y \]
Шаг 3: Решение неравенства
Перенесем \(y\) на левую сторону. Для этого выразим правую сторону так же с дробью:
\[ \frac{5 y - 10}{6} > y = \frac{6 y}{6} \]
Теперь:
\[ \frac{5 y - 10}{6} - \frac{6 y}{6} > 0 \]
Объединяем в одну дробь:
\[ \frac{5 y - 10 - 6 y}{6} > 0 \]
Переход к числителю:
\[ \frac{- y - 10}{6} > 0 \]
Поскольку делитель 6 положительный — знак неравенства зависит только от числителя:
\[ - y - 10 > 0 \]
Или:
\[ - y > 10 \]
Умножаем обе части на -1 (меняя знак):
\[ y < -10 \]
Ответ:
\[ \boxed{ y < -10 } \]
Решение для задачи в)
\(y - \frac{2 y - 1}{4} \geq 1\)
Шаг 1: Перепишем неравенство
\[ y - \frac{2 y - 1}{4} \geq 1 \]
Перенесем 1 в левую сторону:
\[ y - 1 \geq \frac{2 y - 1}{4} \]
Шаг 2: Умножим обе части на 4
\[ 4(y - 1) \geq 2 y - 1 \]
Раскроем скобки:
\[ 4 y - 4 \geq 2 y - 1 \]
Шаг 3: Решим относительно y
Переносим 2 y и -4:
\[ 4 y - 2 y \geq -1 + 4 \]
\[ 2 y \geq 3 \]
Делим на 2:
\[ y \geq \frac{3}{2} \]
Ответ:
\[ \boxed{ y \geq \frac{3}{2} } \]
Решение для задачи e)
\(p - \frac{p - 1}{2} - \frac{p + 3}{4} > 2\)
Шаг 1: Общий знаменатель
Общий знаменатель — 4.
Перепишем дроби:
\[ \frac{p - 1}{2} = \frac{2(p - 1)}{4} \] \[ \frac{p + 3}{4} \text{ — уже с этим знаменателем} \]
Записываем:
\[ p - \frac{2(p - 1)}{4} - \frac{p + 3}{4} > 2 \]
Перепишем \(p\) как \(\frac{4p}{4}\):
\[ \frac{4 p}{4} - \frac{2(p - 1)}{4} - \frac{p + 3}{4} > 2 \]
Обединяем в одну дробь:
\[ \frac{4 p - 2(p - 1) - (p + 3)}{4} > 2 \]
Раскроем скобки в числителе:
\[ 4 p - 2 p + 2 - p - 3 > 8 \]
Объединим:
\[ (4 p - 2 p - p) + (2 - 3) > 8 \]
\[ (4 p - 3 p) - 1 > 8 \]
\[ p - 1 > 8 \]
Добавляем 1:
\[ p > 9 \]
Ответ:
\[ \boxed{ p > 9 } \]
Если нужно, я могу помочь более подробно или пояснить любые шаги.
