Частота выпадений орла 5 подбрасываний
Давайте решим задачу о вероятности выпадения орла при 5 последовательных подбрасываниях монеты, где вероятность выпадения орла в каждом отдельном броске равна 0,5 (частота выпадений орла — 50%).
Задача:
Найти вероятность того, что в 5 подбрасываниях монеты орёл выпадет определённое количество раз (например, ровно 0, 1, 2, 3, 4 или 5 раз).
Шаг 1: Определение вероятностей для каждого исхода
- Вероятность выпадения орла в одном броске: \( p = 0,5 \)
- Вероятность выпадения Решки: \( q = 1 - p = 0,5 \)
Шаг 2: Использование биномиальной формулы
Вероятность, что орёл выпадет ровно \( k \) раз в 5 бросках, можно найти по формуле биномиального распределения:
\[ P(k) = C_{n}^{k} \times p^k \times q^{n - k} \]
где:
- \( n = 5 \) — число испытаний;
- \( k \) — число успехов (выпадений орла), которое нас интересует;
- \( C_{n}^{k} \) — число сочетаний, равное \(\frac{n!}{k!(n - k)!}\).
Шаг 3: Расчёт для каждого значения \(k\):
- Ровно 0 орлов (\(k=0\)):
\[ P(0) = C_5^{0} \times 0.5^0 \times 0.5^5 = 1 \times 1 \times 0.03125 = 0.03125 \]
- Ровно 1 орёл (\(k=1\)):
\[ P(1) = C_5^{1} \times 0.5^1 \times 0.5^4 = 5 \times 0.5 \times 0.0625 = 5 \times 0.03125 = 0.15625 \]
- Ровно 2 орла (\(k=2\)):
\[ P(2) = C_5^{2} \times 0.5^2 \times 0.5^3 = 10 \times 0.25 \times 0.125 = 10 \times 0.03125 = 0.3125 \]
- Ровно 3 орла (\(k=3\)):
\[ P(3) = C_5^{3} \times 0.5^3 \times 0.5^2 = 10 \times 0.125 \times 0.25 = 10 \times 0.03125 = 0.3125 \]
- Ровно 4 орла (\(k=4\)):
\[ P(4) = C_5^{4} \times 0.5^4 \times 0.5^1 = 5 \times 0.0625 \times 0.5 = 5 \times 0.03125 = 0.15625 \]
- Ровно 5 орлов (\(k=5\)):
\[ P(5) = C_5^{5} \times 0.5^5 \times 0.5^0 = 1 \times 0.03125 \times 1 = 0.03125 \]
Итоговые вероятности:
| Количество орлов \(k\) | Вероятность \(P(k)\) |
|---|---|
| 0 | 0.03125 |
| 1 | 0.15625 |
| 2 | 0.3125 |
| 3 | 0.3125 |
| 4 | 0.15625 |
| 5 | 0.03125 |
Важный вывод:
Наиболее вероятный исход — появление 2 или 3 орлов, что составляет примерно по 31,25%. Вероятности для 0 и 5 орлов равны и очень малы.
Если нужно найти вероятность конкретного исхода, скажем, получить ровно 3 орла — она равна 0.3125 или 31,25%.
Если есть дополнительные вопросы или нужно рассчитать вероятность определённого события, скажите!
