Симметричную монету подкидывают 1616 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 1010 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 1313 раз»?

Дано: монету подкидывают 16 раз. Рассматриваем два события:

• Выпало решкой ровно 10 раз.
• Выпало решкой ровно 13 раз.

Требуется найти, во сколько раз вероятность первого события больше второго.

---

Шаг 1: Формулы вероятностей

Вероятность того, что при 16 подбрасываниях монеты выпало ровно k раз решкой, задается биномиальной формулой:

\[ P(k) = C_{16}^{k} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

где \( C_{16}^{k} \) — число сочетаний из 16 по k.

---

Шаг 2: Вероятности событий

• Вероятность, что решка выпала ровно 10 раз:

\[ P_{10} = C_{16}^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

• Вероятность, что решка выпала ровно 13 раз:

\[ P_{13} = C_{16}^{13} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

---

Шаг 3: Вычисление отношения вероятностей

Нам нужно найти отношение:

\[ \frac{P_{10}}{P_{13}} = \frac{C_{16}^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{C_{16}^{13} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}} = \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} \]

Поскольку одинаковый множитель \(\left(\frac{1}{2}\right)^{16}\) делит numerator и denominator, он исчезает.

---

Шаг 4: Вычисление соотношения биномиальных коэффициентов

Рассчитаем \( C_{16}^{10} \) и \( C_{16}^{13} \):

\[ C_{16}^{10} = \frac{16!}{10! \times 6!} \] \[ C_{16}^{13} = \frac{16!}{13! \times 3!} \]

Отношение:

\[ \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} = \frac{\frac{16!}{10! \times 6!}}{\frac{16!}{13! \times 3!}} = \frac{13! \times 3!}{10! \times 6!} \]

---

Шаг 5: Упрощение выражения

Запишем:

\[ \frac{13! \times 3!}{10! \times 6!} \]

Обратим внимание на:

\[ 13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10! \] \[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \] \[ 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6 \]

Подставляем:

\[ \frac{(13 \times 12 \times 11 \times 10!) \times 6}{10! \times 720} \]

Сокращаем \( 10! \):

\[ \frac{13 \times 12 \times 11 \times 6}{720} \]

Вычисляем числитель:

\[ 13 \times 12 = 156 \] \[ 156 \times 11 = 1716 \] \[ 1716 \times 6 = 10296 \]

Разделим:

\[ \frac{10296}{720} \]

Деление:

\[ 10296 \div 720 = \frac{10296}{720} = 14.3 \]

---

Ответ:

\[ \boxed{ \frac{\text{Вероятность, что решка выпала 10 раз}}{\text{Вероятность, что решка выпала 13 раз}} = \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} \approx 14.3 } \]

То есть, вероятность того, что решка выпадет 10 раз, примерно в 14.3 раза больше вероятности, что она выпадет 13 раз.