Дано: монету подкидывают 16 раз. Рассматриваем два события:
- Выпало решкой ровно 10 раз.
- Выпало решкой ровно 13 раз.
Требуется найти, во сколько раз вероятность первого события больше второго.
Шаг 1: Формулы вероятностей
Вероятность того, что при 16 подбрасываниях монеты выпало ровно k раз решкой, задается биномиальной формулой:
[
P(k) = C_{16}^{k} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
где ( C_{16}^{k} ) — число сочетаний из 16 по k.
Шаг 2: Вероятности событий
- Вероятность, что решка выпала ровно 10 раз:
[
P_{10} = C_{16}^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
- Вероятность, что решка выпала ровно 13 раз:
[
P_{13} = C_{16}^{13} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}
]
Шаг 3: Вычисление отношения вероятностей
Нам нужно найти отношение:
[
\frac{P_{10}}{P_{13}} = \frac{C_{16}^{10} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{C_{16}^{13} \times \left(\frac{1}{2}\right)^{16}} = \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}}
]
Поскольку одинаковый множитель (\left(\frac{1}{2}\right)^{16}) делит numerator и denominator, он исчезает.
Шаг 4: Вычисление соотношения биномиальных коэффициентов
Рассчитаем ( C_{16}^{10} ) и ( C_{16}^{13} ):
[
C_{16}^{10} = \frac{16!}{10! \times 6!}
]
[
C_{16}^{13} = \frac{16!}{13! \times 3!}
]
Отношение:
[
\frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} = \frac{\frac{16!}{10! \times 6!}}{\frac{16!}{13! \times 3!}} = \frac{13! \times 3!}{10! \times 6!}
]
Шаг 5: Упрощение выражения
Запишем:
[
\frac{13! \times 3!}{10! \times 6!}
]
Обратим внимание на:
[
13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10!
]
[
6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720
]
[
3! = 3 \times 2 \times 1 = 6
]
Подставляем:
[
\frac{(13 \times 12 \times 11 \times 10!) \times 6}{10! \times 720}
]
Сокращаем ( 10! ):
[
\frac{13 \times 12 \times 11 \times 6}{720}
]
Вычисляем числитель:
[
13 \times 12 = 156
]
[
156 \times 11 = 1716
]
[
1716 \times 6 = 10296
]
Разделим:
[
\frac{10296}{720}
]
Деление:
[
10296 \div 720 = \frac{10296}{720} = 14.3
]
Ответ:
[
\boxed{
\frac{\text{Вероятность, что решка выпала 10 раз}}{\text{Вероятность, что решка выпала 13 раз}} = \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} \approx 14.3
}
]
То есть, вероятность того, что решка выпадет 10 раз, примерно в 14.3 раза больше вероятности, что она выпадет 13 раз.
