. Симметричную монету подкидывают 16 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 13…

Рассмотрим задачу подробнее.

Дано: монету подкидывают 16 раз. Нам нужно сравнить вероятности двух событий:

• \(A\): "Решка выпала ровно 10 раз"
• \(B\): "Решка выпала ровно 13 раз"

Нужно найти отношение \( \frac{P(A)}{P(B)} \).

---

Шаг 1. Формула вероятности для биномиального распределения

Поскольку каждое подбрасывание — независимое событие с двумя исходами (орёл или решка), и вероятность решки равна вероятности орла (симметричная монета), то:

\[ P(k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n - k} \]

где:

• \( n = 16 \),
• \( k \) — число выпадений решки,
• \( p = 0.5 \) — вероятность получения решки в одном подбрасывании.

Так как монета симметричная, то

\[ P(k) = \binom{16}{k} \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

---

Шаг 2. Найти вероятности для событий \(A\) и \(B\)

\[ P(A) = \binom{16}{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \] \[ P(B) = \binom{16}{13} \left(\frac{1}{2}\right)^{16} \]

Отношение:

\[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\binom{16}{10} \left(\frac{1}{2}\right)^{16}}{\binom{16}{13} \left(\frac{1}{2}\right)^{16}} = \frac{\binom{16}{10}}{\binom{16}{13}} \]

так как \(\left(\frac{1}{2}\right)^{16}\) в числителе и знаменателе сократятся.

---

Шаг 3. Вычислить биномиальные коэффициенты

Используем свойства биномиальных коэффициентов:

\[ \binom{n}{k} = \binom{n}{n - k} \]

потому что:

\[ \binom{16}{10} = \binom{16}{6} \]

и

\[ \binom{16}{13} = \binom{16}{3} \]

Теперь остаток задач — найти:

\[ \frac{\binom{16}{6}}{\binom{16}{3}} \]

---

Шаг 4. Вычислить \(\binom{16}{6}\) и \(\binom{16}{3}\)

\[ \binom{16}{6} = \frac{16!}{6! \cdot 10!} \] \[ \binom{16}{3} = \frac{16!}{3! \cdot 13!} \]

Для удобства посчитаем:

\[ \binom{16}{6} = \frac{16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \]

Введите числитель:

\[ 16 \times 15 = 240 \] \[ 240 \times 14 = 3360 \] \[ 3360 \times 13 = 43680 \] \[ 43680 \times 12 = 524160 \] \[ 524160 \times 11 = 5765760 \]

Делитель:

\[ 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]

Следовательно:

\[ \binom{16}{6} = \frac{5765760}{720} = 8008 \]

Теперь \(\binom{16}{3}\):

\[ \binom{16}{3} = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = \frac{3360}{6} = 560 \]

---

Шаг 5. Итоговое отношение

\[ \frac{P(A)}{P(B)} = \frac{\binom{16}{6}}{\binom{16}{3}} = \frac{8008}{560} \approx 14.3 \]

---

Ит вывод:

Вероятность события "монета выпала решкой ровно 10 раз" в \(\approx 14.3\) раз больше вероятности события "выпала решка ровно 13 раз".