Симметричную монету подкидывают 16 раз. Во сколько раз вероятность события «монета выпала решкой ровно 10 раз» больше вероятности события «монета выпала решкой ровно 13 раз»?
Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждый момент.
Задача:
Монету подкидывают 16 раз. Нужно найти, во сколько раз вероятность, что решка выпадет ровно 10 раз, больше (или меньше) вероятности, что решка выпадет ровно 13 раз.
Обозначим:
- \( P_{10} \) — вероятность, что решка выпадет ровно 10 раз.
- \( P_{13} \) — вероятность, что решка выпадет ровно 13 раз.
Нужно найти отношение \(\frac{P_{10}}{P_{13}}\).
Шаг 1: Формула вероятности для биномиального распределения
Вероятность получения ровно \(k\) успехов (в нашем случае — решек) из \(n\) испытаний, при вероятности успеха в каждом испытании \(p=0.5\) (так как монета симметричная), задаётся формулой:
\[ P(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot (1 - p)^{n - k} \]
Где:
- \( C_n^k = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \) — число сочетаний.
Поскольку \(p=0.5\), формула упрощается:
\[ P(k) = C_n^k \cdot (0.5)^n \]
Шаг 2: Записать вероятности
Для \(n=16\):
\[ P_{k} = C_{16}^{k} \cdot (0.5)^{16} \]
Следовательно,
\[ \frac{P_{10}}{P_{13}} = \frac{C_{16}^{10} \cdot (0.5)^{16}}{C_{16}^{13} \cdot (0.5)^{16}} = \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} \]
Так как \((0.5)^{16}\) в числителе и знаменателе сокращаются.
Шаг 3: Найти соотношение коэффициентов сочетаний
Теперь учтём:
\[ \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} \]
Запишем эти числители и denominители:
\[ C_{16}^{10} = \frac{16!}{10! \cdot 6!} \]
\[ C_{16}^{13} = \frac{16!}{13! \cdot 3!} \]
Следовательно,
\[ \frac{C_{16}^{10}}{C_{16}^{13}} = \frac{\frac{16!}{10! \cdot 6!}}{\frac{16!}{13! \cdot 3!}} = \frac{13! \cdot 3!}{10! \cdot 6!} \]
Шаг 4: Упростить выражение
Разделим:
\[ \frac{13! \cdot 3!}{10! \cdot 6!} \]
Используем свойства факториалов:
\[ 13! = 13 \times 12 \times 11 \times 10! \]
И:
\[ 6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720 \]
Также, \(3! = 6\).
Подставим:
\[ = \frac{(13 \times 12 \times 11 \times 10!) \times 6}{10! \times 720} \]
\(-\) В числителе и знаменателе есть \(10!\), можно сократить на \(10!\):
\[ = \frac{13 \times 12 \times 11 \times 6}{720} \]
Посчитаем числитель:
\[ 13 \times 12 = 156 \] \[ 156 \times 11 = 1716 \] \[ 1716 \times 6 = 10296 \]
Таким образом, отношение:
\[ \frac{10296}{720} \]
Сократим дробь:
\[ \frac{10296 \div 24}{720 \div 24} = \frac{429}{30} \]
Или по форме дроби:
\[ \frac{429}{30} \]
Можно оставить в виде смешанного числа:
\[ 14 + \frac{9}{30} = 14 + \frac{3}{10} \]
Ответ:
\[ \boxed{ \frac{P_{10}}{P_{13}} = \frac{429}{30} \approx 14.3 } \]
Это значит, что вероятность того, что решка выпадет ровно 10 раз, примерно в 14.3 раза больше, чем вероятность, что решка выпадет ровно 13 раз.
Если потребуется более точное значение или есть дополнительные вопросы — обращайтесь!
