Моторная лодка прошла 63 км по течению реки и 45 км против течения, затратив на весь путь 6 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что, двигаясь 5 ч по течению реки, она проходит тот же путь, что за 7 ч против течения. Решить с помощью системы уравнений решение с систем уравнений

Давайте решим задачу шаг за шагом, сформировав систему уравнений. **Обозначения:** - \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч) - \( t \) — скорость течения реки (км/ч) **Дано:** 1. Лодка прошла 63 км по течению и 45 км против течения, суммарное время — 6 часов: \[ \frac{63}{v + t} + \frac{45}{v - t} = 6 \] 2. Также известно, что, движась 5 часов по течению, она проходит тот же путь, что за 7 часов против течения: \[ 5(v + t) = 7(v - t) \] Нам нужно найти \( v \) и \( t \). --- ### Шаг 1: Решим второе уравнение для связки \( v \) и \( t \): \[ 5(v + t) = 7(v - t) \] Раскроем скобки: \[ 5v + 5t = 7v - 7t \] Перенесём все члены в одну сторону: \[ 5v - 7v = -7t - 5t \] \[ -2v = -12t \] Разделим обе части на -2: \[ v = 6t \] Это выражение связывает скорость лодки и течения. --- ### Шаг 2: Подставим \( v = 6t \) в первое уравнение: \[ \frac{63}{v + t} + \frac{45}{v - t} = 6 \] Подставляем \( v = 6t \): \[ \frac{63}{6t + t} + \frac{45}{6t - t} = 6 \] \[ \frac{63}{7t} + \frac{45}{5t} = 6 \] Упростим каждую дробь: \[ \frac{63}{7t} = \frac{9}{t} \] \[ \frac{45}{5t} = \frac{9}{t} \] Итак, уравнение становится: \[ \frac{9}{t} + \frac{9}{t} = 6 \] \[ \frac{18}{t} = 6 \] Решим для \( t \): \[ t = \frac{18}{6} = 3 \text{ км/ч} \] Теперь найдём \( v \): \[ v = 6t = 6 \times 3 = 18 \text{ км/ч} \] --- ### **Ответ:** - **Скорость лодки в стоячей воде:** \(\boxed{18\, \text{км/ч}}\) - **Скорость течения:** \(\boxed{3\, \text{км/ч}}\) Если есть вопросы по решению или нужен дополнительный разбор — я готов помочь!