Моторная лодка прошла 63 км по течению реки и 45 км против течения, затратив на весь путь 6 ч. Найдите скорость лодки в стоячей воде и скорость течения, если известно, что,…

Давайте решим задачу шаг за шагом, сформировав систему уравнений.

Обозначения:

• \( v \) — скорость лодки в стоячей воде (км/ч)
• \( t \) — скорость течения реки (км/ч)

Дано:

1. Лодка прошла 63 км по течению и 45 км против течения, суммарное время — 6 часов: \[ \frac{63}{v + t} + \frac{45}{v - t} = 6 \]

2. Также известно, что, движась 5 часов по течению, она проходит тот же путь, что за 7 часов против течения: \[ 5(v + t) = 7(v - t) \]

Нам нужно найти \( v \) и \( t \).

Шаг 1: Решим второе уравнение для связки \( v \) и \( t \):

\[ 5(v + t) = 7(v - t) \] Раскроем скобки: \[ 5v + 5t = 7v - 7t \] Перенесём все члены в одну сторону: \[ 5v - 7v = -7t - 5t \] \[ -2v = -12t \] Разделим обе части на -2: \[ v = 6t \]

Это выражение связывает скорость лодки и течения.

Шаг 2: Подставим \( v = 6t \) в первое уравнение:

\[ \frac{63}{v + t} + \frac{45}{v - t} = 6 \]

Подставляем \( v = 6t \):

\[ \frac{63}{6t + t} + \frac{45}{6t - t} = 6 \] \[ \frac{63}{7t} + \frac{45}{5t} = 6 \]

Упростим каждую дробь:

\[ \frac{63}{7t} = \frac{9}{t} \] \[ \frac{45}{5t} = \frac{9}{t} \]

Итак, уравнение становится:

\[ \frac{9}{t} + \frac{9}{t} = 6 \] \[ \frac{18}{t} = 6 \]

Решим для \( t \):

\[ t = \frac{18}{6} = 3 \text{ км/ч} \]

Теперь найдём \( v \):

\[ v = 6t = 6 \times 3 = 18 \text{ км/ч} \]

Ответ:

• Скорость лодки в стоячей воде: \(\boxed{18\, \text{км/ч}}\)
• Скорость течения: \(\boxed{3\, \text{км/ч}}\)

Если есть вопросы по решению или нужен дополнительный разбор — я готов помочь!