Найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , третий член которой равен 8, а знаменатель равен -2

Давайте пошагово решим задачу. **Условие:** - Первый член геометрической прогрессии — обозначим его как \(a_1\). - Общий множитель (знаменатель прогрессии) — \(q = -2\). - Третий член прогрессии равен 8. - Необходимо найти сумму первых десяти членов. --- ### Шаг 1: Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии \[ a_n = a_1 \times q^{n-1} \] Для третьего члена (\(a_3\)) имеем: \[ a_3 = a_1 \times q^{2} \] Подставляем известные значения: \[ 8 = a_1 \times (-2)^2 \] \[ 8 = a_1 \times 4 \] Отсюда: \[ a_1 = \frac{8}{4} = 2 \] --- ### Шаг 2: Проверка вычисленных данных Первый член: \[ a_1 = 2 \] знаменатель: \[ q = -2 \] --- ### Шаг 3: Найдём сумму первых 10 членов Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \times \frac{q^n -1}{q - 1} \] для \(n=10\): \[ S_{10} = 2 \times \frac{(-2)^{10} -1}{-2 - 1} \] --- ### Шаг 4: Вычисляем числитель и знаменатель 1. \((-2)^{10}\) Поскольку степень чётная, знак будет положительным. \[ (-2)^{10} = 2^{10} = 1024 \] 2. Знак в знаменателе: \[ -2 - 1 = -3 \] Тогда сумма: \[ S_{10} = 2 \times \frac{1024 - 1}{-3} \] \[ S_{10} = 2 \times \frac{1023}{-3} \] 3. Вычисляем дробь: \[ \frac{1023}{-3} = -341 \] 4. Умножаем на 2: \[ S_{10} = 2 \times (-341) = -682 \] --- ### **Ответ:** **Сумма первых десяти членов равна \(-682\).**