найдите сумму первых десяти членов геометрической прогрессии , третий член которой равен 8, а знаменатель равен -2
Давайте пошагово решим задачу.
Условие:
- Первый член геометрической прогрессии — обозначим его как \(a_1\).
- Общий множитель (знаменатель прогрессии) — \(q = -2\).
- Третий член прогрессии равен 8.
- Необходимо найти сумму первых десяти членов.
Шаг 1: Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии
\[ a_n = a_1 \times q^{n-1} \]
Для третьего члена (\(a_3\)) имеем:
\[ a_3 = a_1 \times q^{2} \]
Подставляем известные значения:
\[ 8 = a_1 \times (-2)^2 \]
\[ 8 = a_1 \times 4 \]
Отсюда:
\[ a_1 = \frac{8}{4} = 2 \]
Шаг 2: Проверка вычисленных данных
Первый член:
\[ a_1 = 2 \]
знаменатель:
\[ q = -2 \]
Шаг 3: Найдём сумму первых 10 членов
Сумма первых \(n\) членов геометрической прогрессии:
\[ S_n = a_1 \times \frac{q^n -1}{q - 1} \]
для \(n=10\):
\[ S_{10} = 2 \times \frac{(-2)^{10} -1}{-2 - 1} \]
Шаг 4: Вычисляем числитель и знаменатель
- \((-2)^{10}\)
Поскольку степень чётная, знак будет положительным.
\[ (-2)^{10} = 2^{10} = 1024 \]
- Знак в знаменателе:
\[ -2 - 1 = -3 \]
Тогда сумма:
\[ S_{10} = 2 \times \frac{1024 - 1}{-3} \]
\[ S_{10} = 2 \times \frac{1023}{-3} \]
- Вычисляем дробь:
\[ \frac{1023}{-3} = -341 \]
- Умножаем на 2:
\[ S_{10} = 2 \times (-341) = -682 \]
Ответ:
Сумма первых десяти членов равна \(-682\).
