прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой, ВС=10, ВМ – медиана, ВМ= 13. Найти АВ.
Давайте внимательно разберем задачу и найдем длину стороны АВ в прямоугольном треугольнике АВС, где угол В — прямой, известны длины ВС и ВМ, а ВМ — медиана, проведенная из вершины В.
Шаг 1: Условие задачи
- В треугольнике АВС:
- Угол В — прямой (90°)
- ВС = 10
- ВМ — медиана, проведенная из В к стороне АС
- ВМ = 13
Нам нужно найти сторону АВ.
Шаг 2: Анализ треугольника
Поскольку В — прямой угол, то:
- В — вершина прямого угла
- АС — гипотенуза
- АВ и ВС — катеты
Обозначения:
- \(\text{AB} = x\)
- \(\text{AC} = y\)
- \(\text{BC} = 10\)
Шаг 3: Свойства медианы из прямого угла
В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам. Также известно, что:
\[ \text{Медиана } ВМ \text{ делит гипотенузу } АС \text{ пополам} \]
Плюс, по теореме Пифагора:
\[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \]
или:
\[ y^2 = x^2 + 10^2 = x^2 + 100 \]
Шаг 4: Связь ВМ и стороны
Медиана из В к стороне АС:
- ВМ делит АС пополам
- Обозначим точку М как середину АС
Длина медианы ВМ по формуле для медианы, проведенной из вершины прямого угла:
\[ VM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times AB^2 + 2 \times BC^2 - AC^2} \]
заменим \(AB = x\), \(BC=10\), \(AC=y\):
\[ 13 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 2 \times 10^2 - y^2} \]
\[ 13 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 200 - y^2} \]
Умножим обе части на 2:
\[ 26 = \sqrt{2x^2 + 200 - y^2} \]
Возьмем квадрат обеих частей:
\[ 26^2 = 2x^2 + 200 - y^2 \]
\[ 676 = 2x^2 + 200 - y^2 \]
Выразим \(y^2\):
\[ y^2 = 2x^2 + 200 - 676 \] \[ y^2 = 2x^2 - 476 \]
Но из теоремы Пифагора:
\[ y^2 = x^2 + 100 \]
Подставим это выражение в полученную уравнение:
\[ x^2 + 100 = 2x^2 - 476 \]
Перенесем все в левую часть:
\[ 0 = 2x^2 - 476 - x^2 - 100 \]
\[ 0 = x^2 - 576 \]
Отсюда:
\[ x^2 = 576 \]
Следовательно:
\[ x = \sqrt{576} = 24 \]
Итог:
- \(AB = x = 24\)
