Прямоугольном треугольнике АВС угол В прямой, ВС=10, ВМ – медиана, ВМ= 13. Найти АВ.

Давайте внимательно разберем задачу и найдем длину стороны АВ в прямоугольном треугольнике АВС, где угол В — прямой, известны длины ВС и ВМ, а ВМ — медиана, проведенная из вершины В. ### Шаг 1: Условие задачи - В треугольнике АВС: - Угол В — прямой (90°) - ВС = 10 - ВМ — медиана, проведенная из В к стороне АС - ВМ = 13 Нам нужно найти сторону АВ. ### Шаг 2: Анализ треугольника Поскольку В — прямой угол, то: - В — вершина прямого угла - АС — гипотенуза - АВ и ВС — катеты Обозначения: - \(\text{AB} = x\) - \(\text{AC} = y\) - \(\text{BC} = 10\) ### Шаг 3: Свойства медианы из прямого угла В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, делит гипотенузу пополам. Также известно, что: \[ \text{Медиана } ВМ \text{ делит гипотенузу } АС \text{ пополам} \] Плюс, по теореме Пифагора: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] или: \[ y^2 = x^2 + 10^2 = x^2 + 100 \] ### Шаг 4: Связь ВМ и стороны Медиана из В к стороне АС: - ВМ делит АС пополам - Обозначим точку М как середину АС Длина медианы ВМ по формуле для медианы, проведенной из вершины прямого угла: \[ VM = \frac{1}{2} \sqrt{2 \times AB^2 + 2 \times BC^2 - AC^2} \] заменим \(AB = x\), \(BC=10\), \(AC=y\): \[ 13 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 2 \times 10^2 - y^2} \] \[ 13 = \frac{1}{2} \sqrt{2x^2 + 200 - y^2} \] Умножим обе части на 2: \[ 26 = \sqrt{2x^2 + 200 - y^2} \] Возьмем квадрат обеих частей: \[ 26^2 = 2x^2 + 200 - y^2 \] \[ 676 = 2x^2 + 200 - y^2 \] Выразим \(y^2\): \[ y^2 = 2x^2 + 200 - 676 \] \[ y^2 = 2x^2 - 476 \] Но из теоремы Пифагора: \[ y^2 = x^2 + 100 \] Подставим это выражение в полученную уравнение: \[ x^2 + 100 = 2x^2 - 476 \] Перенесем все в левую часть: \[ 0 = 2x^2 - 476 - x^2 - 100 \] \[ 0 = x^2 - 576 \] Отсюда: \[ x^2 = 576 \] Следовательно: \[ x = \sqrt{576} = 24 \] ### Итог: - \(AB = x = 24\) --- ## Ответ: **Длина стороны АВ равна 24.**