Площадь основания конуса равна 64п, а образующая - 10. Найдите площадь полной поверхности и объем конуса.

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом. Дано: - Площадь основания конуса \( S_осн = 64\pi \). - Образующая (наклонная высота) \( l = 10 \). Цель: - Найти площадь полной поверхности \( S_{\полн} \). - Найти объем \( V \). --- ### Шаг 1. Найдём радиус основания \( r \) Площадь основания конуса — круг: \[ S_осн = \pi r^2 \] Подставляем известные значения: \[ \pi r^2 = 64 \pi \] Делим обе части на \(\pi\): \[ r^2 = 64 \] \[ r = \pm 8 \] Так как радиус — длина, то \( r = 8 \). --- ### Шаг 2. Найдём высоту \( h \) Образующая \( l \), радиус \( r \), высота \( h \) связаны по теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей: \[ l^2 = h^2 + r^2 \] Подставляем известные значения: \[ 10^2 = h^2 + 8^2 \] \[ 100 = h^2 + 64 \] Вычитаем 64: \[ h^2 = 36 \] \[ h = \pm 6 \] Высота — длина, поэтому \( h = 6 \). --- ### Шаг 3. Найдём площадь полной поверхности \( S_{\полн} \) Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности: \[ S_{\полн} = S_осн + S_{бок} \] Боковая площадь: \[ S_{бок} = \pi r l \] Подставляем значения: \[ S_{бок} = \pi \times 8 \times 10 = 80\pi \] Таким образом: \[ S_{\полн} = 64\pi + 80\pi = 144\pi \] --- ### Шаг 4. Найдём объем \( V \) Объём конуса (правильного): \[ V = \frac{1}{3} S_осн \cdot h \] Подставляем: \[ V = \frac{1}{3} \times 64\pi \times 6 \] Сначала умножим: \[ 64 \times 6 = 384 \] Итак: \[ V = \frac{1}{3} \times 384 \pi = 128 \pi \] --- ### Итог: - **Площадь полной поверхности:** \(\boxed{144\pi}\) - **Объем:** \(\boxed{128\pi}\) Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение — спрашивайте!