площадь основания конуса равна 64п, а образующая - 10. Найдите площадь полной поверхности и объем конуса.

Давайте подробно решим задачу шаг за шагом.

Дано:

• Площадь основания конуса \( S_осн = 64\pi \).
• Образующая (наклонная высота) \( l = 10 \).

Цель:

• Найти площадь полной поверхности \( S_{\полн} \).
• Найти объем \( V \).

Шаг 1. Найдём радиус основания \( r \)

Площадь основания конуса — круг:
\[ S_осн = \pi r^2 \] Подставляем известные значения: \[ \pi r^2 = 64 \pi \] Делим обе части на \(\pi\): \[ r^2 = 64 \] \[ r = \pm 8 \] Так как радиус — длина, то \( r = 8 \).

Шаг 2. Найдём высоту \( h \)

Образующая \( l \), радиус \( r \), высота \( h \) связаны по теореме Пифагора в треугольнике, образованном высотой, радиусом и образующей: \[ l^2 = h^2 + r^2 \] Подставляем известные значения: \[ 10^2 = h^2 + 8^2 \] \[ 100 = h^2 + 64 \] Вычитаем 64: \[ h^2 = 36 \] \[ h = \pm 6 \] Высота — длина, поэтому \( h = 6 \).

Шаг 3. Найдём площадь полной поверхности \( S_{\полн} \)

Площадь полной поверхности конуса состоит из площади основания и боковой поверхности: \[ S_{\полн} = S_осн + S_{бок} \] Боковая площадь: \[ S_{бок} = \pi r l \] Подставляем значения: \[ S_{бок} = \pi \times 8 \times 10 = 80\pi \]

Таким образом: \[ S_{\полн} = 64\pi + 80\pi = 144\pi \]

Шаг 4. Найдём объем \( V \)

Объём конуса (правильного): \[ V = \frac{1}{3} S_осн \cdot h \] Подставляем: \[ V = \frac{1}{3} \times 64\pi \times 6 \] Сначала умножим: \[ 64 \times 6 = 384 \] Итак: \[ V = \frac{1}{3} \times 384 \pi = 128 \pi \]

Итог:

• Площадь полной поверхности: \(\boxed{144\pi}\)
• Объем: \(\boxed{128\pi}\)

Если есть дополнительные вопросы или нужно пояснение — спрашивайте!