Давайте разберём задачу поэтапно.
Задача:
Кодовый замок содержит 7 возможных цифр (например, цифры от 0 до 6). Владелец выбирает одну цифру, и именно её нужно угадать, чтобы открыть замок.
Что нужно определить:
Вероятность того, что замок откроется именно с 4-го раза.
Шаг 1. Общие понятия о вероятности
Вероятность угадать правильно за 1-й раз:
(\displaystyle P_1 = \frac{1}{7})
Вероятность не угадать в первый раз, то есть выбрать неправильную цифру:
(\displaystyle 1 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7})
Шаг 2. Вероятность открыть замок именно с 4-го раза
Ситуация такая:
- В первые три раза не угадываем правильную цифру (их выбираем неправильно).
- На 4-м попытке угадываем правильно.
Это означает:
- Первые три раза — неправильные выборы.
- Четвёртый раз — правильный.
Шаг 3. Расчёт вероятности
Пусть (A) — событие, что замок откроется именно на 4-м взгляде.
Тогда:
[
P(A) = \Underbrace{\left(\frac{6}{7}\right) \times \left(\frac{6}{7}\right) \times \left(\frac{6}{7}\right)}_{\4 \text{ неправильных попыток подряд}} \times \frac{1}{7}
]
Объяснение:
- В первых трёх попытках мы выбираем неправильные цифры (каждая с вероятностью (\frac{6}{7})).
- На четвёртой — правильную цифру, с вероятностью (\frac{1}{7}).
Шаг 4. Итоговый ответ
[
P(A) = \left(\frac{6}{7}\right)^3 \times \frac{1}{7}
]
Итог:
[
\boxed{
\text{Вероятность, что замок откроется точно с 4-го раза} = \left(\frac{6}{7}\right)^3 \times \frac{1}{7}
}
]
Вычисление числового значения:
[
\left(\frac{6}{7}\right)^3 = \frac{216}{343}
]
Итак,
[
P(A) = \frac{216}{343} \times \frac{1}{7} = \frac{216}{2401}
]
Ответ:
Вероятность, что замок откроется точно с 4-го раза, равна (\frac{216}{2401}).
