Пусть у вас есть случайная величина , равномерно распределённая на отрезке . Выберите правильную формулу для преобразования случайной величины в случайную величину , равномерно…

Давайте carefully разберёмся с задачей про случайные величины и их преобразования.

Задача:
Пусть есть случайная величина \( X \), равномерно распределённая на отрезке \([a, b]\). Необходимо определить правильную формулу для преобразования \( X \) в новую случайную величину \( Y \), которая будет равномерно распределена на другом отрезке \([c, d]\).

Шаг 1: Понимание исходных данных

• \( X \sim \text{равномерно на } [a, b] \).
  Это значит, что вероятность попадания \( X \) в любой участок интервала \([a, b]\) равна его длине.

• Мы ищем \( Y \), равномерную на \([c, d]\).

Шаг 2: Свободный выбор преобразования — линейное преобразование

Для равномерных распределений на отрезках часто используют линейные функции вида:

\[ Y = \alpha X + \beta \]

Чтобы получить равномерное распределение на другом отрезке, необходимо правильно подобрать параметры \(\alpha\) и \(\beta\).

Шаг 3: Определение коэффициентов

• Значения \(X\) лежат в \([a, b]\).
• Значения \(Y\) должны лежать в \([c, d]\).

\[ \text{Когда } X = a, \quad Y = c \] \[ \text{Когда } X = b, \quad Y = d \]

Используем систему уравнений:

\[ c = \alpha a + \beta \] \[ d = \alpha b + \beta \]

Вычитая первое из второго:

\[ d - c = \alpha (b - a) \]

Отсюда:

\[ \alpha = \frac{d - c}{b - a} \]

Теперь подставим \(\alpha\) обратно для нахождения \(\beta\):

\[ c = \frac{d - c}{b - a} \cdot a + \beta \]

\[ \beta = c - \frac{d - c}{b - a} \cdot a \]

или можно выразить более компактно:

\[ Y = \frac{d - c}{b - a} \cdot (X - a) + c \]

Ответ:

Правильная формула преобразования:

\[ \boxed{ Y = \frac{d - c}{b - a} \cdot (X - a) + c } \]

Это линейное преобразование, которое переводит равномерное распределение с \([a, b]\) в равномерное на \([c, d]\).

Дополнение:

Если исходная случайная величина \(X\) равномерна на \([a, b]\), то для получения равномерной на \([c, d]\) достаточно применить указанное линейное преобразование.

Если есть дополнительные условия или нужно преобразование другого вида — дайте знать!