Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним ее решение.
Дано:
- Расстояние между пристанями: ( S = 110 ) км
- Первый теплоход отправился из пристани А в одиночку
- Через 1 час после первого отправился второй теплоход
- Скорость первого теплохода: ( v_1 ) (независимо от конкретного значения, он остается неизвестен)
- Скорость второго теплохода: ( v_2 = v_1 + 1 ) км/ч
- Второй теплоход прибыл одновременно с первым в пункт В
Задача: найти скорость второго теплохода ( v_2 ).
Шаг 1: Время движения первого теплохода
Пусть первый теплоход шел до прибытия в пристань В за время ( t_1 ) часов.
За это время он прошел расстояние:
[
S = v_1 \times t_1
]
=> (\displaystyle t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{110}{v_1})
Шаг 2: Время движения второго теплохода
Второй теплоход отправляется через 1 час после первого. Пусть его время в пути — ( t_2 ).
Обратите внимание:
- Первый теплоход шел ( t_1 ) часов
- Второй шел ( t_2 ) часов, начиная через 1 час после первого
Поскольку они прибыли одновременно, то:
[
\text{Время второго теплохода} = t_2 = t_1 - 1
]
или, иначе говоря:
[
t_2 = \frac{110}{v_2}
]
Поскольку второй начал движение через 1 час, то он затрачивает времени ( t_2 ):
[
t_2 = t_1 - 1
]
Подставим ( t_1 = \frac{110}{v_1} ):
[
t_2 = \frac{110}{v_1} - 1
]
Шаг 3: Связь скоростей и времени для второго теплохода
Известно, что ( v_2 = v_1 + 1 ) и что он прошел всё расстояние за ( t_2 ):
[
S = v_2 \times t_2
]
Подставим значения:
[
110 = (v_1 + 1) \times \left(\frac{110}{v_1} - 1 \right)
]
Шаг 4: Решение уравнения
Раскроем скобки:
[
110 = (v_1 + 1) \times \left(\frac{110 - v_1}{v_1}\right)
]
Перепишем:
[
110 = \frac{(v_1 + 1)(110 - v_1)}{v_1}
]
Умножим обе части уравнения на ( v_1 ):
[
110 v_1 = (v_1 + 1)(110 - v_1)
]
Раскроем скобки справа:
[
110 v_1 = (v_1)(110 - v_1) + 1 \times (110 - v_1) = 110 v_1 - v_1^2 + 110 - v_1
]
Объединим подобные члены справа:
[
110 v_1 = 110 v_1 - v_1^2 + 110 - v_1
]
Перенесем все в левую часть:
[
110 v_1 - 110 v_1 = - v_1^2 + 110 - v_1
]
Упростим:
[
0 = - v_1^2 + 110 - v_1
]
или
[
v_1^2 + v_1 - 110 = 0
]
Шаг 5: Решение квадратного уравнения
Это стандартное уравнение:
[
v_1^2 + v_1 - 110 = 0
]
Используем дискриминант:
[
D = 1^2 - 4 \times 1 \times (-110) = 1 + 440 = 441
]
Корни:
[
v_1 = \frac{-1 \pm \sqrt{D}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{441}}{2} = \frac{-1 \pm 21}{2}
]
Варианты:
(\displaystyle v_1 = \frac{-1 + 21}{2} = \frac{20}{2} = 10)
(\displaystyle v_1 = \frac{-1 - 21}{2} = \frac{-22}{2} = -11)
Так как скорость не может быть отрицательной, принимаем:
[
v_1 = 10 \text{ км/ч}
]
Шаг 6: Находим скорость второго теплохода
[
v_2 = v_1 + 1 = 10 + 1 = 11 \text{ км/ч}
]
Ответ:
Скорость второго теплохода — 11 км/ч.
Если нужно, я могу ещё объяснить подробно любой из шагов или рассчитать с учетом других параметров.
