Интеграл |z=5| dz/z(z-1) равен
Рассмотрим комплексный интеграл по контуру |z|=5:
\[ \int_{|z|=5} \frac{dz}{z(z-1)} \]
Здесь полюса функции — в точках \( z=0 \) и \( z=1 \). Обе точки лежат внутри окружности радиуса 5, так как \( |0|=0 \) и \( |1|=1 \), что меньше 5.
Используем теорему Куши — интеграл равен \( 2\pi i \) умноженному на сумму вычетов функции в полюсах внутри контура:
\[ \int_{|z|=5} \frac{dz}{z(z-1)} = 2\pi i \left( \operatorname{Res}_{z=0} \frac{1}{z(z-1)} + \operatorname{Res}_{z=1} \frac{1}{z(z-1)} \right) \]
Найдем каждый вычет.
- В точке \( z=0 \):
\[ \operatorname{Res}_{z=0} \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-1} = -1 \]
- В точке \( z=1 \):
\[ \operatorname{Res}_{z=1} \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = 1 \]
Сумма вычетов:
\[ -1 + 1 = 0 \]
Следовательно, интеграл равен:
\[ 2\pi i \times 0 = 0 \]
Ответ:
\[ \boxed{0} \]
