Интеграл |z=5| dz/z(z-1) равен

Рассмотрим комплексный интеграл по контуру |z|=5: \[ \int_{|z|=5} \frac{dz}{z(z-1)} \] Здесь полюса функции — в точках \( z=0 \) и \( z=1 \). Обе точки лежат внутри окружности радиуса 5, так как \( |0|=0 \) и \( |1|=1 \), что меньше 5. Используем теорему Куши — интеграл равен \( 2\pi i \) умноженному на сумму вычетов функции в полюсах внутри контура: \[ \int_{|z|=5} \frac{dz}{z(z-1)} = 2\pi i \left( \operatorname{Res}_{z=0} \frac{1}{z(z-1)} + \operatorname{Res}_{z=1} \frac{1}{z(z-1)} \right) \] Найдем каждый вычет. 1. В точке \( z=0 \): \[ \operatorname{Res}_{z=0} \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} z \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 0} \frac{1}{z-1} = -1 \] 2. В точке \( z=1 \): \[ \operatorname{Res}_{z=1} \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} (z-1) \cdot \frac{1}{z(z-1)} = \lim_{z \to 1} \frac{1}{z} = 1 \] Сумма вычетов: \[ -1 + 1 = 0 \] Следовательно, интеграл равен: \[ 2\pi i \times 0 = 0 \] **Ответ:** \[ \boxed{0} \]